Question

【題目】如圖,用一根長為L=1m的細(xì)線,一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),另一端固定在一光滑錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角θ=370,當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí),細(xì)線的張力為T.求 , , 計(jì)算結(jié)果可用根式表示):

(1)若要小球離開錐面,則小球的角速度 至少為多大?

(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為600,則小球的角速度ω1為多大?

(3)細(xì)線的張力T與小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω有關(guān),當(dāng)ω的取值范圍在0到ω1之間時(shí),請通過計(jì)算求解T與ω2的關(guān)系,并在圖坐標(biāo)紙上作出T-ω2的圖象,標(biāo)明關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值.

Answer 1

【答案】（1） （2） (3)見解析

【解析】（1）小球剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=mω02Lsin θ
解得： ．
（2）同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式有：
mgtan α=mω′2Lsin α
解得： ．
（3）a．當(dāng)ω1=0時(shí) T1=mgcosθ=8N，標(biāo)出第一個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，8N）；
b．當(dāng)0＜ω＜ rad/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω2Lsinθ，
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得T＝mgcosθ+mLω2(sinθ)2＝8+ω2
當(dāng)ω2＝rad/s時(shí)，T2=12.5N 標(biāo)出第二個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[12.5（rad/s）2，12.5N]；
c．當(dāng)rad/s≤ω≤2rad/s時(shí)，小球離開錐面，設(shè)細(xì)線與豎直方向夾角為β，
T3sinβ＝mω2Lsinβ
解得：T3＝mLω2
當(dāng)ω＝ω′＝2rad/s時(shí)，T3=20N
標(biāo)出第三個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[20（rad/s）2，20N]．
畫出T-ω2圖象如圖所示．