Question

18．長為2l的輕繩，兩端各系有一質(zhì)量為m的小球，中點(diǎn)系有兩只質(zhì)量為M的小球，三球成一直線靜止于光滑水平桌面上，繩處于伸直狀態(tài)，如圖所示，現(xiàn)對(duì)小球M施以沖力，使其獲得與繩垂直的初速度v，求：
（1）兩小球m相碰時(shí)繩中的張力T；
（2）若從小球M開始運(yùn)動(dòng)到兩小球相碰時(shí)的時(shí)間為t，求在此期間小球M經(jīng)過的距離x．

Answer 1

分析 （1）三小球在沿M運(yùn)動(dòng)的方向上動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守理可求得三小球相碰時(shí)的沿v方向上的速度；再由機(jī)械能守恒定律可求得兩小球垂直v方向的速度；再由向心力公式可求得繩中的張力．
（2）對(duì)系統(tǒng)分析可知，系統(tǒng)不受外力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度公式可求得系統(tǒng)的位移，再根據(jù)動(dòng)量守恒規(guī)律可求得質(zhì)心與小球M之間的距離，從而求出M的距離．

解答 解：（1）設(shè)兩個(gè)小球碰撞前M的速度為v，由于繩長保持不變，因此小球m沿繩方向的速度也為v_X，而垂直于繩方向的速度分量設(shè)為v_y，設(shè)初速度方向?yàn)檎�方向，則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得：
Mv=（M+2m）v_y
$\frac{1}{2}$Mv²=$\frac{1}{2}M{v}_{y}^{2}$+2×$\frac{1}{2}$m（v_x²+v_y²）
解得：v_x²=$\frac{Mv}{M+2m}$
設(shè)此時(shí)M相對(duì)于桌面的加速度為a_M，則有：2T=Ma_M，a_M方向與v_y反向，在小球M的參考系中，小球m以速度vx繞M做圓周運(yùn)動(dòng)，由球小球除受繩子張力外，還受到與T同向的慣性力ma_M的作用，故由牛頓第二定律有：
T+ma_M=m$\frac{{v}_{X}^{2}}{L}$
由此解得：
T=$\frac{m{M}^{2}v}{L（M+2m）^{2}}$
（2）由于系統(tǒng)沿水平方向不受外力，故其質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心速度為：
v=$\frac{Mv}{M+2m}$
在時(shí)間t內(nèi)，質(zhì)心經(jīng)過的距離為：
s_o=v_ot=$\frac{Mv}{M+2m}$t
設(shè)兩小球m相碰時(shí)，質(zhì)心與小球M的距離為y_o=$\frac{2mL}{M+2m}$
由此可知在時(shí)間t內(nèi)小球M經(jīng)過的距離為x=s_o+y₀=$\frac{Mv}{M+2m}$t+$\frac{2mL}{M+2m}$=$\frac{M{v}_{0}t+2mL}{M+2m}$
答：（1）兩小球m相碰時(shí)繩中的張力T為$\frac{m{M}^{2}v}{L（M+2m）^{2}}$
（2）若從小球M開始運(yùn)動(dòng)到兩小球相碰時(shí)的時(shí)間為t，求在此期間小球M經(jīng)過的距離x為$\frac{M{v}_{0}t+2mL}{M+2m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用問題，要注意明確在沿初度方向上總動(dòng)量守恒；同時(shí)明確在垂直于初速度方向上的機(jī)械能的存在．