Question

7．如圖所示，質(zhì)量為m=1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊輕輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上的P點(diǎn)，隨傳送帶運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入豎直光滑圓弧軌道下滑，圓弧軌道與質(zhì)量為M=4kg的足夠長的小車左端在最低點(diǎn)O相切，并在O點(diǎn)滑上小車，水平地面光滑，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到障礙物Q處與Q發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞．碰撞前物塊和小車已經(jīng)相對(duì)靜止，而小車可繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)（物塊始終在小車上），小車運(yùn)動(dòng)過程中和圓弧無相互作用．已知圓弧半徑R=3.0m，圓弧對(duì)應(yīng)的夾角θ=53°，A點(diǎn)距水平面的h=0.8m，物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：
（1）小物塊離開A點(diǎn)的水平初速度v₁；
（2）小物塊經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力（保留三位有效數(shù)字）；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對(duì)小車的位移和小車做勻減速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在B點(diǎn)對(duì)速度進(jìn)行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關(guān)系，而豎直方向速度V_y²=2gh顯然易求，則水平速度可解．
（2）首先利用動(dòng)能定理解決物塊在最低點(diǎn)的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點(diǎn)表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據(jù)牛頓第三定律可求對(duì)軌道的壓力．
（3）第一次碰撞后，滑塊以原速率返回，小車減速，當(dāng)滑塊速度減為零后反向加速度時(shí)，小車仍然減速，知道兩者速度相同，一起向右；之后重復(fù)這個(gè)過程，小車與滑塊有相對(duì)滑動(dòng)的過程中，小車勻減速；根據(jù)功能關(guān)系列式求相對(duì)路程，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系公式求解小車的減速時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)小物塊由A到B有：v${\;}_{y}^{2}$=2gh            
在B點(diǎn)：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$                               
解得v₁=3 m/s                                    
（2）由A到O，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=mg（h+R-Rcosθ）                     
解得：v₀=7 m/s
在O點(diǎn)：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$                           
解得：F_N=26.3 N                                         
故壓力F_N′=26.3 N                                   
（3）摩擦力F_f=μmg=1 N
物塊滑上小車后經(jīng)過時(shí)間t達(dá)到的共同速度為v_t，則
t=$\frac{vt}{{a}_{M}}$=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{m}}$，得v_t=1.4 m/s                        
由于碰撞不損失能量，物塊在小車上重復(fù)做勻減速和勻加速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)小車始終向左運(yùn)動(dòng)，物體與小車最終靜止，摩擦力做功使動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故有：
F_f•l_相=$\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{t}^{2}$，得l_相=4.9 m                      
小車從物塊碰撞后開始勻減速運(yùn)動(dòng)，（每個(gè)減速階段）加速度a不變
a_M=$\frac{{F}_{f}}{M}$=0.25 m/s²
v_t=a_Mt，得t=5.6 s     
答：（1）小物塊離開A點(diǎn)的水平初速度為3m/s；
（2）小物塊經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為26.3N；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對(duì)小車的位移為4.9m，小車做勻減速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為5.6s．

點(diǎn)評(píng) 本題前兩問是一個(gè)單物體多過程的力學(xué)問題，把復(fù)雜的過程分解成幾個(gè)分過程是基本思路；第三問是一個(gè)多過程問題，要分析清楚兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系列式求解．