Question

如圖甲所示，兩根足夠長、電阻不計的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為L₁=1m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5Ω的電阻；質(zhì)量為m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，距離導(dǎo)軌最上端為L₂=4m，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．整個裝置處于一勻強(qiáng)磁場中，該勻強(qiáng)磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時間變化的情況如圖乙所示．為保持ab棒靜止，在棒上施加了一平行于導(dǎo)軌平面的外力F，g=10m/s²求：

（1）當(dāng)t=2s時，外力F₁的大��；
（2）當(dāng)t=3s前的瞬間，外力F₂的大小和方向；
（3）請在圖丙中畫出前4s外力F隨時間變化的圖象（規(guī)定F方向沿斜面向上為正）；
（4）4s后，撤去外力F，金屬棒將由靜止開始下滑，這時用電壓傳感器將R兩端的電壓即時采集并輸入計算機(jī)，在顯示器顯示的電壓達(dá)到某一恒定值后，記下該時刻棒的位置，測出該位置與棒初始位置相距207.90cm，求棒下滑該距離過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）由圖知，0-3s時間內(nèi)，B均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出感應(yīng)電流，由平衡條件求解t=2s時，外力F₁的大小．
（2）與上題用同樣的方法求出外力F₂的大小和方向．
（3）由B-t圖象得到B與t的關(guān)系式，根據(jù)平衡條件得到外力F與t的關(guān)系式，再作出圖象．
（4）撤去外力后，棒沿導(dǎo)軌向下做變加速運(yùn)動，最終勻速，當(dāng)R上電壓達(dá)到恒定時，棒已做勻速運(yùn)動，根據(jù)平衡條件和安培力與速度的表達(dá)式，求出勻速運(yùn)動的速度，再運(yùn)用能量守恒定律列式求解整個回路產(chǎn)生的熱量Q_總．由于R與r串聯(lián)，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為 Q_R=

R

R+r

Q_總．

解答：解（1）當(dāng)t=2s時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：
E=

△B

△t

L₁L₂，
B₂=1T，應(yīng)電流為：
I=

E

R+r

=L₁L₂

△B

△t(R+r)

=1×4×

1.5

3×(1.5+0.5)

A=1A；
根據(jù)楞次定律判斷可知，ab所受的安培力沿軌道向上；
ab棒保持靜止，受力平衡，設(shè)外力沿軌道向上，則由平衡條件有：
mgsin30°-B₂IL₁-F₁=0
可解得：F₁=mgsin30°-B₂IL₁=0.2×10×sin30°-1×1×1=0
（2）當(dāng)t=3s前的瞬間，由圖可知，B₃=1.5T，設(shè)此時外力沿軌道向上，則根據(jù)平衡條件得：
F₂+B₃IL₁-mg sin30°=0
則得：F₂=mg sin30°-B₃IL₁=0.2×10×sin30°-1.5×1×1=-0.5N，負(fù)號說明外力沿斜面向下．
（3）規(guī)定F方向沿斜面向上為正，在0-3s內(nèi)，根據(jù)平衡條件有：
mgsin30°-BIL₁-F=0
而B=0.5t（T）
則得：F=mgsin30°-BIL₁=0.2×10×sin30°-0.5T×1×1=1-0.5T（N）
當(dāng)t=0時刻，F(xiàn)=1N．
在3-4s內(nèi)，B不變，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，ab不受安培力，則由平衡條件得：F=mgsin30°=0.2×10×sin30°N=1N
畫出前4s外力F隨時間變化的圖象如圖所示．
（4）撤去外力后，棒沿導(dǎo)軌向下做變加速運(yùn)動，最終勻速．當(dāng)R上電壓達(dá)到恒定時，棒已做勻速運(yùn)動．由a=0得：
mgsinθ=B₃IL₁
又根據(jù)閉合歐姆定律得：I=

B3L1vm

R+r

所以有：v_m=

mg(R+r)sinθ

B 2 3 L 2 1

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5

1．52×12

m/s=

8

9

m/s
該過程中，根據(jù)能量守恒定律得：Q_總=mgxsinθ-

1

2

mv²
而 Q_總=Q_R+Q_r
  

QR

Qr

=

R

r

故 Q_R=

R

R+r

Q_總
代入數(shù)據(jù)得：Q_R=1.5J
答：（1）當(dāng)t=2s時，外力F₁的大小是0；
（2）當(dāng)t=3s前的瞬間，外力F₂的大小是0.5N，方向沿斜面向下；
（3）畫出前4s外力F隨時間變化的圖象如圖所示．
（4）棒下滑該距離過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是1.5J．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、平衡條件、安培力公式和能量守恒定律等等電磁學(xué)和力學(xué)規(guī)律，得到解析式，再畫圖象是常用的思路，要多做相關(guān)的訓(xùn)練．