Question

（14分）如圖所示，質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為l的正方形平板與彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，另一端固定于地面，平板處于平衡狀態(tài)。質(zhì)量為m的第一個(gè)小球從平臺(tái)以一定速度垂直于平板的左邊緣水平拋出，并與平板發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)平臺(tái)與板間高度差為h，拋出點(diǎn)在平板的左邊緣正上方)。隔一段時(shí)間后，以相同速度拋出第二個(gè)小球。（假定在任何情況下平板始終保持水平，忽略平板在水平方向上的運(yùn)動(dòng)，且為方便計(jì)算起見(jiàn)，設(shè)h=3）

（1）求第一個(gè)小球落到平臺(tái)上形成的振子系統(tǒng)的周期和頻率；

（2）為了使第二個(gè)小球與平板不發(fā)生碰撞，其拋出速度的最小值為多少?

（3）在（2）的情況下，兩小球拋出的時(shí)間差是多少?

Answer 1

解析：

（1）碰撞前后小球與平板（總質(zhì)量為2m一起在新的平衡位置上下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖中虛線所示，振子系統(tǒng)的周期為(1分)

振子系統(tǒng)的頻率為（式中ω為角頻率）(1分)

（2）碰撞前，第一個(gè)小球在豎直方向的速度為(1分)

發(fā)生完全彈性碰撞，豎直方向有近似動(dòng)量守恒(1分)

則碰撞后平板運(yùn)動(dòng)的速度為(1分)

振子振幅為(1分)

旋轉(zhuǎn)參考矢量與y軸負(fù)方向的夾角滿足，則(1分)

設(shè)析運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)第二個(gè)小球正好下落到這一高度，則第二個(gè)小球下落用時(shí)(1分)

由此可以求出兩者不發(fā)生碰撞時(shí)，第二個(gè)小球的最小拋出速度為(1分)

（3）第一個(gè)小球下落到平板用時(shí)(1分)

碰撞后平板從原平衡位置壓縮到最低位置用時(shí)(1分)

設(shè)兩球拋出的時(shí)間相差，則

(1分)

考慮到板往復(fù)一次用時(shí)，第二個(gè)小球拋出時(shí)間可以是振子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于一個(gè)周期后，則兩小球拋出的時(shí)間差為

           （n取非負(fù)整數(shù)）(2分)