Question

（2007?連云港三模）如圖甲所示，質(zhì)量分別為m=1kg，M=2kg的A、B兩個(gè)小物塊用經(jīng)彈簧相連而靜止在光滑水平面上，在A的左側(cè)某處另有一個(gè)質(zhì)量也為m=1kg的小物塊C以v₀=4m/s的速度正對A向右勻速運(yùn)動，一旦與A接觸就將粘合在一起運(yùn)動，若在C與A接觸前對A施加一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量I，從A獲得瞬時(shí)沖量作用的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，向右為正方向，其速度隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示（C與A未接觸前），彈簧始終未超過彈簧性限度．

（1）求對A施加的瞬時(shí)沖量I的大��；
（2）在C與A接觸前，當(dāng)A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時(shí)，求對應(yīng)狀態(tài)下B的速度，并在此基礎(chǔ)上在圖乙中粗略畫出B的速度隨時(shí)間變化圖象；
（3）若C分別在A的速度為v_A1=4m/s、v_A2=-2m/s時(shí)與A接觸，試計(jì)算這兩種情況下在接觸后的運(yùn)動過程中彈性勢能的最大值E_pm1和E_pm2．
（4）若C在A的速度為v_A時(shí)與A接觸，在接觸后的運(yùn)動過程中彈性勢能的最大值為E_pm，試證明E_pm與第（3）問中的E_pm1、E_pm2間滿足：E_pm1≥E_pm≥E_pm2．

Answer 1

分析：C與A接觸前，A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律得到B速度的表達(dá)式，再代入數(shù)據(jù)求出B的速度，畫出圖象．
無論C與A如何接觸，當(dāng)A、B、C具有相同速度u時(shí)彈性勢能最大．根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒求出u．再研究A、B碰撞過程，根據(jù)動量守恒和能量守恒求出碰撞損失的機(jī)械能．由三個(gè)物體的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得到彈簧彈性勢能的表達(dá)式E_p表達(dá)式，分析得到范圍．

解答：解：（1）由圖可知：對A施加瞬時(shí)沖量后的初速度為v_A0=6m/s，
所以施加的瞬時(shí)沖量I的大小I=mv_A0=6N?s
（2）由動量守恒定律 mV_A0=mV_A+MV_B   ①
得  v_B=

m

M

（V_A0-V_A）
代入數(shù)據(jù)得 B與A對應(yīng)的速度為0，2m/s，4m/s 
描繪圖象如圖示
（3）無論C與A如何接觸，當(dāng)A、B、C具有相同速度u時(shí)彈性勢能最大，
 由動量守恒定律  mV₀+mV_A0=（2m+M）u    ②
   u=2.5m/s
設(shè)C與A碰撞前后A的瞬時(shí)速度分別為V_A、V，碰撞過程缺失機(jī)械能為△E，則
   mV₀+mV_A=2mV  ③
△E=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A

-

1

2

×2mV²  ④
設(shè)最大的彈性勢能為E_p，則 Ep=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A0

-

1

2

（2m+M）u²-△E  ⑤
聯(lián)立②～⑤解得 E_P=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A0

-

1

2

（2m+M）u2-

1

4

m（V₀-V_A）² ⑥
可見V_A=V₀時(shí)，C與A接觸而粘在一起，不損失機(jī)械能，△E=0，E_P有最大值E_Pm．代入⑥式得
E_pm=

1

2

×1×4²+

1

2

×1×6²-

1

2

×（2×1+2）×2.5²-0=13.5J
當(dāng)V_A反向最大時(shí)，△E最大，E_P有最小值E_Pmin．
由第（1）問知，當(dāng)V_A=-2m/s時(shí)，B的速度V_B=4m/s，這時(shí)A、B的總動能 E_KAB=

1

2

mv

2 A

+

1

2

Mv

2 B

=18J
A剛開始運(yùn)動時(shí)，A、B和彈簧組成系統(tǒng)的總能量 E_K=

1

2

mv

2 A0

=18J
可見C與A碰撞前，A的反向最大速度不會超過2m/s，代入⑥得
  E_Pm=

1

2

×1×4²+

1

2

×1×6²-

1

2

×（2×1+2）×2.5²-

1

2

×2×（4+2）²=4.5J
所以A的速度為v_A1=4m/s時(shí)與A接觸，彈簧彈性勢能最大值E_pm1=13.5J
A的速度為v_A2=-2m/s時(shí)與A接觸，彈簧彈性勢能最大值E_pm2=4.5J．
所以彈簧彈性勢能最大值的變化范圍是 13.5J≥E_P≥4.5J   
答：（1）對A施加的瞬時(shí)沖量I的大小是6N?s；
（2）在C與A接觸前，當(dāng)A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時(shí)，B與A對應(yīng)的速度為0，2m/s，4m/s；
（3）若C分別在A的速度為v_A1=4m/s、v_A2=-2m/s時(shí)與A接觸，這兩種情況下在接觸后的運(yùn)動過程中彈性勢能的最大值E_pm1=13.5J
E_pm2=4.5J．
（4）證明如上．

點(diǎn)評：對于這類彈簧問題注意用動態(tài)思想認(rèn)真分析物體的運(yùn)動過程，注意過程中的功能轉(zhuǎn)化關(guān)系；解答時(shí)注意動量守恒和能量守恒列式分析求解．