Question

如圖所示，豎直放置的氣缸內(nèi)盛有氣體，上面被一活塞蓋住，活塞通過勁度系數(shù)k=600N/m的彈簧與氣缸相連接，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，已知此時外界大氣壓強(qiáng)p₀=1.00×10⁵N/m²，活塞到缸底的距離l=0.500m，缸內(nèi)橫截面積S=1.00×10²m²，今在等溫條件下將活塞緩慢上提到距缸底為2l處，此時提力為F=500N，彈簧的原長l₀應(yīng)為多少？若提力為F=700N，彈簧的原長l₀又應(yīng)為多少？不計摩擦及活塞和彈簧的質(zhì)量，并假定在整個過程中，氣缸不漏氣，彈簧都遵從胡克定律．

Answer 1

分析：假設(shè)彈簧處于伸長狀態(tài)，根據(jù)活塞平衡列出前后兩次狀態(tài)下封閉氣體的壓強(qiáng)表達(dá)式，根據(jù)玻意耳定律得到含有原長l₀的方程，分別討論提力為F=500N和提力為F=700N時，彈簧的狀態(tài)得出彈簧的原長．

解答：解：設(shè)彈簧的原長為l₀，氣體原來壓強(qiáng)為p，后來為p′，則由玻意耳定律可得
      pl=p′?2l              ①
在原來狀態(tài)下，活塞受力如圖1所示，由力學(xué)平衡可得

     pS=p₀S+k（l-l₀）         ②
在后來狀態(tài)下，活塞受力如圖2所示，由力學(xué)平衡可得
    p′S+F=p₀S+k（2l-l₀）   ③
由①、②、③聯(lián)立解得P=

2(F-kl)

S

      ④
由式得l₀=l+

S

k

(P0-P)    ⑤
   當(dāng)F=500N時，由④式得p=0.4p₀ 再代入⑤式得l₀=1.50m，可見在整個過程中彈簧始終處于壓縮狀態(tài)．
   當(dāng)F=700N時，由④式得p=0.8p₀ 再代入⑤式得l₀=0.833m，可見在過程開始時彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)活塞提高到距缸底距離超過l₀=0.833m后，彈簧被拉伸．

點評：本題也可以假設(shè)彈簧原來處于壓縮狀態(tài)，根據(jù)玻意耳定律研究彈簧原長．對于題設(shè)條件不確定時，要分情況進(jìn)行討論．