Question

13．如圖所示，在矩形PQNM中有垂直紙面向外的勻強磁場，PQ和PM的長度分別為8L和3L，O為pQ上一點，OP長度為L．一個帶正電荷的粒子從O點以速度v₀射入磁場中，粒子質量為m，帶電荷量為e．
（1）若帶電荷粒子速度垂直PQ向上，欲使粒子從PQ離開磁場，求磁感應強度的最小值B₁，并求出粒子在磁場中的運動時間；
（2）若此帶電粒子速度與QP成夾角θ=60℃向上，欲使此粒子從PQ離開磁場，求磁感應強度的最小值B₂，并求出粒子在磁場中的運動時間．

Answer 1

分析 粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運動軌跡，求出粒子軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出磁感應強度的最小值；根據粒子做圓周運動的周期公式與粒子在磁場中轉過的圓心角可以求出粒子在磁場中的運動時間．

解答 解：（1）粒子速度垂直PQ向上，粒子恰好從PQ邊射出，軌道半徑最大時的運動軌跡如圖所示，

由幾何知識得，粒子軌道半徑：r=3L，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：ev₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{3eL}$，
粒子在磁場中的運動時間：t=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{180°}{360°}$×$\frac{2πm}{e{B}_{1}}$=$\frac{3πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子速度與QP成夾角θ=60℃向上，粒子恰好從PQ邊射出，軌道半徑最大時的運動軌跡如圖所示，

由幾何知識得，粒子軌道半徑：r′+r′sin30°=3L，r′=2L，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：ev₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r′}$，解得：B₂=$\frac{m{v}_{0}}{2eL}$，
粒子在磁場中的運動時間：t′=$\frac{θ′}{360°}$T′=$\frac{180°-60°}{360°}$×$\frac{2πm}{e{B}_{2}}$=$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$；
答：（1）若帶電荷粒子速度垂直PQ向上，欲使粒子從PQ離開磁場，求磁感應強度的最小值B₁為$\frac{m{v}_{0}}{3eL}$，粒子在磁場中的運動時間為$\frac{3πL}{{v}_{0}}$；
（2）若此帶電粒子速度與QP成夾角θ=60℃向上，欲使此粒子從PQ離開磁場，磁感應強度的最小值B₂為$\frac{m{v}_{0}}{2eL}$，粒子在磁場中的運動時間為$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，考查了求磁感應強度與粒子的運動時間，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是解題的關鍵，應用牛頓第二定律與粒子做圓周運動的周期公式可以解題．