Question

7．“太空粒子探測(cè)器”是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成，其原理可簡(jiǎn)化如下：如圖甲所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為O，外圓弧面AB的半徑為L(zhǎng)，電勢(shì)為φ₁，內(nèi)圓弧面CD的半徑為$\frac{1}{2}$L，電勢(shì)為φ₂，足夠長(zhǎng)的收集板MN平行邊界ACDB，O到MN板的距離OP=L，假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開始加速，不計(jì)粒子間的相互作用和其他星球?qū)αＷ右�力的影響�?br />（1）求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小．
（2）如圖乙所示，在邊界ACDB和收集板MN之間加一個(gè)半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心為O，半徑為L(zhǎng)，方向垂直紙面向內(nèi)，則發(fā)現(xiàn)從AB圓弧面收集到的粒子經(jīng)O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后有$\frac{2}{3}$能打到MN板上（不考慮過(guò)邊界ACDB的粒子再次返回），求所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）同上問(wèn)，從AB圓弧面收集到的粒子經(jīng)O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后均不能到達(dá)收集板MN，求磁感應(yīng)強(qiáng)度所滿足的條件，試寫出定量反映收集板MN上的收集效率η與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系的相關(guān)式子．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理即可求出粒子到達(dá)O點(diǎn)的速度；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌跡求出粒子的半徑，然后由洛倫茲力提供向心力即可求解；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何知識(shí)求得粒子的收集率與粒子圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角的關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系求得收集率為0時(shí)對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，由動(dòng)能定理有：
$qU=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
又U=φ₁-φ₂
所以：$v=\sqrt{\frac{{2q（{φ_1}-{φ_2}）}}{m}}$；
（2）從AB圓弧面收集到的粒子有2/3能打到MN板上，剛好不能打到MN上的粒子從磁場(chǎng)中出來(lái)后速度方向與MN平行，則入射的方向與AB之間的夾角是60⁰，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1，
軌跡圓心角θ=60°
根據(jù)幾何關(guān)系，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=L，
由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
聯(lián)立解得：$B=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{{2m（{φ_1}-{φ_2}）}}{q}}$；
（3）當(dāng)沿OD方向的粒子剛好打到MN上，則由幾何關(guān)系可知，${r_1}=\frac{1}{2}L$
由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$
得：$B=\frac{2}{L}\sqrt{\frac{{2m（{φ_1}-{φ_2}）}}{q}}$
即$B＞\frac{2}{L}\sqrt{\frac{{2m（{φ_1}-{φ_2}）}}{q}}$
如圖2，
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為α，由幾何關(guān)系可知：
$sin\frac{α}{2}=\frac{L/2}{r}=\frac{LqB}{2mv}=\frac{LB}{2}\sqrt{\frac{q}{{2m（{φ_1}-{φ_2}）}}}$
MN上的收集效率：$η=\frac{π-α}{π}$．
答：（1）粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}}$；
（2）所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{2m（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$；
（3）試寫出定量反映收集板MN上的收集效率η與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系的相關(guān)式子是$η=\frac{π-α}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的加速和磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．