Question

有兩個(gè)完全相同的小滑塊A和B，A沿光滑水平面以速度v₀與靜止在平面邊緣O點(diǎn)的B發(fā)生正碰，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失．碰后B運(yùn)動(dòng)的軌跡為OD曲線，如圖所示．
（1）已知滑塊質(zhì)量為m，碰撞時(shí)間為△t，求碰撞過(guò)程中A對(duì)B平均沖力的大�。�
（2）為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無(wú)初速下滑的運(yùn)動(dòng)，特制做一個(gè)與B平拋軌道完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置，讓A沿該軌道無(wú)初速下滑（經(jīng)分析，A下滑過(guò)程中不會(huì)脫離軌道）．
a．分析A沿軌道下滑到任意一點(diǎn)的動(dòng)量p_A與B平拋經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)量p_B的大小關(guān)系；
b．在OD曲線上有一M點(diǎn)，O和M兩點(diǎn)連線與豎直方向的夾角為45°．求A通過(guò)M點(diǎn)時(shí)的水平分速度和豎直分速度．

Answer 1

（1）滑動(dòng)A與B正碰，滿足
mv_A-mV_B=mv₀ ①

1

2

mv_A²+

1

2

mv_B²=

1

2

mv₀                 ②
由①②，解得v_A=0，v_B=v₀，
根據(jù)動(dòng)量定理，滑塊B滿足 F?△t=mv₀
解得 F=

mv0

△t

．
所以碰撞過(guò)程中A對(duì)B平均沖力的大小為

mv0

△t

．
（2）a．設(shè)任意點(diǎn)到O點(diǎn)豎直高度差為d．
A、B由O點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)至該點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒．
選該任意點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，有
E_A=mgd，E_B=mgd+

1

2

mv₀²
由于p=

2mEK

，
有

PA

PB

=

EKA EKB

=

2gd V 20 +2gd

＜1，
即   P_A＜P_B
所以A下滑到任意一點(diǎn)的動(dòng)量總和是小于B平拋經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)量．
b．以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向下，則對(duì)B有
x=v₀t，
y=

1

2

gt²
B的軌跡方程 y=

g

2 v 20

x²，
在M點(diǎn)x=y，所以  y=

2 v 20

g

         ③
因?yàn)锳、B的運(yùn)動(dòng)軌跡均為OD曲線，故在任意一點(diǎn)，兩者速度方向相同．
設(shè)B水平和豎直分速度大小分別為v_Bx和v_By，速率為v_B；
A水平和豎直分速度大小分別為v_Ax和v_Ay，速率為v_A，則

VAX

VA

=

VBX

VB

，

VAy

VA

=

VBy

VB

    ④
B做平拋運(yùn)動(dòng)，故v_Bx=v₀，v_By=

2gy

，v_B=

v 20 +2gy

  ⑤
對(duì)A由機(jī)械能守恒得v_A=

2gy

，⑥
由④⑤⑥得v_Ax=

V0 2gy

V 20 +2gy

，v_Ay=

2gy

V 20 +2gy

將③代入得 v_Ax=

2 5

5

v₀ ，v_Ay=

4 5

5

v₀．
所以A通過(guò)M點(diǎn)時(shí)的水平分速度為

2 5

5

v₀ ，豎直分速度的大小為

4 5

5

v₀．