Question

如圖所示，MN、PQ是足夠長(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌，其間距為L(zhǎng)，且MP⊥MN．導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=30°．MP接有電阻R．有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀．將一根質(zhì)量為m的金屬棒ab緊靠MP放在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻也為R，其余電阻均不計(jì)．現(xiàn)用與導(dǎo)軌平行的恒力F=mg沿導(dǎo)軌平面向上拉金屬棒，使金屬棒從靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，金屬棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與MP平行．當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定速度，cd 到MP的距離為s．求：
（1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度的大�。�
（2）金屬棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時(shí)刻記作t=0，從此時(shí)刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，寫(xiě)出磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）金屬棒先加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)平衡條件和安培力的表達(dá)式F=

B 2 0 L2v

2R

結(jié)合求出金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度的大�。�
（2）金屬棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，恒力、重力和安培力對(duì)金屬棒做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得金屬棒克服安培力做功，由功能關(guān)系可知，電路中產(chǎn)生的總熱量等于金屬棒克服安培力做功，電阻R上產(chǎn)生的熱量等于總熱量的一半；
（3）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)金屬棒不受安培力而做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可求得加速度，根據(jù)t時(shí)刻回路的磁通量等于開(kāi)始時(shí)刻的磁通量，即可求出B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

解答：解：（1）當(dāng)金屬棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，則有 F=mgsinθ+F_安
又安培力 F安=

B 2 0 L2v

2R

解得：v=

mgR

B 2 0 L2

（2）金屬棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
   Fs-mgssinθ-W克安=

1

2

mv2-0
解得：W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

則根據(jù)功能關(guān)系得：回路中產(chǎn)生的總熱量為Q=W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

故電阻R上產(chǎn)生的熱量為Q_R=

1

2

Q
則得  QR=

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

（3）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流．此時(shí)金屬棒將沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)牛頓第二定律 F-mgsinθ=ma，
解得，a=

1

2

g
根據(jù)磁通量不變，則有
  B₀LS=BL（S+vt+

1

2

at2）
解得，B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

答：（1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度的大小是

mgR

B 2 0 L2

；
（2）金屬棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量是

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)中收尾速度問(wèn)題，分別從力和能量?jī)蓚�(gè)角度進(jìn)行研究．當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)磁通量的概念，即可得到B的表達(dá)式．