Question

9．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R．一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)．要求物塊能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，（g為重力加速度）．求：
（1）物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h至少為多少？
（2）若小物塊剛好通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)圓形軌道的最大壓力為多大？

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解h的最小值．
（2）小物塊剛好通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，過(guò)圓周最低點(diǎn)對(duì)圓形軌道的壓力最大，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）設(shè)物塊恰能以速度v₁過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)．
在圓軌道最高點(diǎn)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由機(jī)械能守恒定律得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②式得：h=2.5R，即高度h至少要2.5R．
（2）小物塊剛好通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，過(guò)圓周最低點(diǎn)對(duì)圓形軌道的壓力最大，設(shè)物塊過(guò)圓周最低點(diǎn)時(shí)速度為v₂．
從下滑到最低點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₂²…③
在最高點(diǎn)，對(duì)物塊，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…④
聯(lián)立解得：圓形軌道對(duì)物塊最大的支持力：N=6mg
由牛頓第三定律得，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)圓形軌道的最大壓力為6mg．
答：（1）物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h至少為2.5R．
（2）若小物塊剛好通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)圓形軌道的最大壓力為6mg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，要選擇合適的過(guò)程，并注意豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件即可求解．