Question

AB

是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，在下端B與水平直軌道相切，如圖所示，一小球自A點(diǎn)起由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（2）小球下滑以距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)速度的大小和方向；
（3）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道的B點(diǎn)時(shí)所受軌道支持力N_B是多大？

Answer 1

分析：（1）不計(jì)摩擦力，小球在圓弧軌道下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒，即可由機(jī)械能守恒定律求解到B點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出速度的大小，由幾何關(guān)系求出速度的方向；
（3）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道的B點(diǎn)時(shí)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解支持力．

解答：解：（1）不計(jì)摩擦力，小球在圓弧軌道下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒，則得小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能：E_k=mgR．
（2）設(shè)小球下滑以距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)速度的大小為v，與豎直方向的夾角為α，則：mg?

1

2

R=

1

2

mv2，得v=

gR

根據(jù)幾何知識(shí)得：sinα=

1 2 R

R

=

1

2

，得α=30°
（3）在B點(diǎn)，有：N_B-mg=m

v 2 B

R

又：E_k=

1

2

m

v

2 B

解得：N_B=3mg
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是mgR；
（2）小球下滑以距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)速度的大小為

gR

，方向與豎直方向成30°；
（3）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道的B點(diǎn)時(shí)所受軌道支持力N_B是3mg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道只有重力做功，機(jī)械能守恒，物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力．