Question

14．如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2t，分別帶有等量的負(fù)、正電荷，在兩板間形成電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場．A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強(qiáng)電場分布的影響可忽略不計(jì)），孔的下沿右側(cè)有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），在外力作用下靜止在軌道的中點(diǎn)P處．孔的下沿左側(cè)也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板l處有一固定檔板，長為l的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q．撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場力作用下由靜止開始向左運(yùn)動，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，可認(rèn)為小球與Q接觸過程中不損失機(jī)械能．小球從接觸 Q開始，經(jīng)歷時(shí)間T₀第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回．由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時(shí)小球電荷量的$\frac{1}{k}$（k＞1）．求：
（1）小球第一次接觸Q時(shí)的速度大小；
（2）假設(shè)小球第n次彈回兩板間后向右運(yùn)動的最遠(yuǎn)處沒有到達(dá)B板，試導(dǎo)出小球從第n次接觸 Q，到本次向右運(yùn)動至最遠(yuǎn)處的時(shí)間T₀的表達(dá)式；
（3）假設(shè)小球被第N次彈回兩板間后向右運(yùn)動最遠(yuǎn)處恰好到達(dá)B板，求N為多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合速度位移公式求出小球第一次接觸Q時(shí)的速度大�。�
（2）小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動至最遠(yuǎn)處的時(shí)間包括兩部分，一部分是小球從接觸Q開始，經(jīng)歷時(shí)間To第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回，另一部分是離開Q向右做減速運(yùn)動的過程．根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)動能定理得出電量q的表達(dá)式，抓住小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時(shí)小球電荷量的$\frac{1}{k}$，求出N．

解答 解：（1）設(shè)小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a．
根據(jù)牛頓第二定律有：qE=ma 
對于小球從靜止到與Q接觸前的過程，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式有：v²=2al
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$．
（2）小球每次離開Q的瞬時(shí)速度大小相同，且等于小球第一次與Q接觸時(shí)速度大�。�
設(shè)小球第1次離開Q向右做減速運(yùn)動的加速度為a₁，速度由v減為零所需時(shí)間為t₁，小球離開Q所帶電荷量為q₁．
根據(jù)牛頓第二定律有：q₁E=ma₁
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式有：${t}_{1}\\;=\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{v}{{a}_{1}}$，
根據(jù)題意可知小球第1次離開Q所帶電荷量為：${q}_{1}=\frac{q}{k}$，
聯(lián)立解得：${t}_{1}=\frac{mv}{qE}k$．
設(shè)小球第2次離開Q向右做減速運(yùn)動的加速度為a₂，速度由v減為零所需時(shí)間為t₂，小球離開Q所帶電荷量為q₂．
同理q₂E=ma₂，${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}$，${q}_{2}=\frac{q}{{k}^{2}}$，
聯(lián)立解得：${t}_{2}=\frac{mv}{qE}{k}^{2}$，
設(shè)小球第n次離開Q向右做減速運(yùn)動的加速度為a_n，速度由v減為零所需時(shí)間為t_n，小球離開Q所帶電荷量為q_n．
同理有：q_nE=ma_n，${t}_{n}=\frac{v}{{a}_{n}}$，q_n=$\frac{q}{{k}^{n}}$．
聯(lián)立解得：${t}_{n}=\frac{mv}{qE}{k}^{n}$，
小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動至最遠(yuǎn)處的時(shí)間為：${T}_{n}=2{T}_{0}+\sqrt{\frac{2ml}{qE}}{k}^{n}$．
（3）設(shè)小球第N次離開Q，向右運(yùn)動的最遠(yuǎn)處恰好在B板處，這個(gè)過程中小球的加速度為a_N，小球第N次離開Q所帶電荷量為q_N．
對于小球第N次接觸Q前，小球從P位置到與Q接觸的過程中，
根據(jù)動能定理有：qEl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
對于小球第N次離開Q，向右運(yùn)動至B板處的過程中，根據(jù)動能定理有：q_NE•2l=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據(jù)上式有${q}^{N}=\frac{q}{2}$，又${q}^{N}=\frac{q}{{k}^{N}}$，所以k^N=2 
解得：N=log _k2
答：（1）小球第一次接觸Q時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$．
（2）T₀的表達(dá)式為${T}_{n}=2{T}_{0}+\sqrt{\frac{2ml}{qE}}{k}^{n}$．
（3）N為log _k2．

點(diǎn)評 了解研究對象的運(yùn)動過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．要注意小球運(yùn)動過程中各個(gè)物理量的變化．