Question

9．某同學利用如圖1所示的裝置測量重力加速度g的值，如果一個半徑為R的盛有密度為ρ的液體的開口圓柱形容器以轉(zhuǎn)速n作勻速旋轉(zhuǎn)運動，那么，原始的水平液面就變成了凹面，其頂點為y=$\frac{（2πn）^{2}{R}^{2}}{4g}$（見圖1），如果用一垂直平面通過其旋轉(zhuǎn)軸去切該容器，液面曲線是一個拋物線，其公式為：y=$\frac{（2πn）^{2}{R}^{2}}{4g}$-$\frac{（2πn）^{2}{x}^{2}}{2g}$．
實驗時保持圓柱形容器的轉(zhuǎn)速n=100r/min，并測量出液面曲線在圖2中坐標中的一組（x，y）參數(shù)，如表所示：（圓柱形容器內(nèi)半徑R=0.1m）

x/m	2.0×10-2	2.5×10-2	3.0×10-2	3.5×10-2	4.0×10-2	4.5×10-2
y/m	2.56×10-2	2.45×10-2	2.24×10-2	2.24×10-2	1.88×10-2	1.65×10-2

（1）由實驗數(shù)據(jù)得出圖所示的擬合直線，圖中縱軸表示x²，橫軸表示y．
（2）由擬合直線得到重力加速度g的值為9.842．
（3）若液體的密度偏大，重力加速度g的測量值不變．（選填：“偏大”、“偏小”或“不變”）

Answer 1

分析 （1）將表格內(nèi)的數(shù)據(jù)與坐標系中的各組數(shù)據(jù)進行比較，即可判斷出坐標軸的意義；
（2）將坐標軸的意義與題目給出的公式比較，即可得出g的數(shù)值；
（3）對坡面上的任意質(zhì)點進行受力分析，結(jié)合受力的情況即可判斷出．

解答 解：（1）將表格內(nèi)的各組數(shù)據(jù)與坐標系上各點的數(shù)據(jù)一一比較，可以看出，橫軸上的各組數(shù)據(jù)與y的數(shù)據(jù)是一一對應(yīng)的，而x的數(shù)據(jù)與縱坐標上各點的數(shù)據(jù)不是對應(yīng)的；結(jié)合題目的公式y(tǒng)=$\frac{（2πn）^{2}{R}^{2}}{4g}$-$\frac{（2πn）^{2}{x}^{2}}{2g}$，將x的數(shù)據(jù)平方后，可以看出，縱坐標上的數(shù)據(jù)與x的平方是一一對應(yīng)的，所以由實驗數(shù)據(jù)得出圖所示的擬合直線，圖中縱軸表示 x²，橫軸表示y．
（2）根據(jù)圖中縱軸表示 x²，橫軸表示y，將y=$\frac{（2πn）^{2}{R}^{2}}{4g}$-$\frac{（2πn）^{2}{x}^{2}}{2g}$與圖象比較可得，圖線的斜率：
k=$\frac{△{x}^{2}}{△y}$=-$\frac{g}{2{π}^{2}{n}^{2}}$
由圖可得：k=$\frac{（2.78-1.5）×1{0}^{-2}}{（0-23）×1{0}^{-4}}=-5.565$m
由題：n=100r/min=$\frac{5}{3}$r/s
所以：g=$-k•2{π}^{2}{n}^{2}=5.565×2×3.1{4}^{2}×（\frac{5}{3}）^{2}$=9.84m/s²．
（3）在圖1中的液體表面的任意一點取很小的體積V的一個液珠為研究對象，設(shè)該液珠處的斜面與水平方向之間的夾角為θ，液珠的質(zhì)量：m=ρV．
該液珠受到的重力與液體的作用力的合力提供向心力，其受力如圖：

由牛頓第二定律可得：mgtanθ=m（2πn）²r
可以看錯，由于等式的兩側(cè)都有質(zhì)量m，可以約掉！！
所以液體的密度對重力加速度g的測量沒有影響，若液體的密度偏大，重力加速度g的測量值不變．
故答案為：（1）x²，y；（2）9.84；（3）不變

點評 該題雖然用到高中的物理知識，但不僅僅給出了一種全新的情景，而且題目所要求的方法與高中物理的常見的方法也不相同，可能是高中物理競賽的題目，在選擇時要慎重．