Question

10．一質(zhì)量不計(jì)的直角支架兩端分別連接質(zhì)量均為m的小球A和B，支架的直角邊長度分別為OA=2L、OB=L，支架可繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，現(xiàn)使OA從水平位置由靜止釋放．求：
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)過程B球的最大速度；（可用根式表示）
（2）B球上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）AB兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，同時(shí)由于AB兩球共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的角速度相同．根據(jù)機(jī)械能守恒定律和線速度的關(guān)系，得到B球的速度和OB與豎直方向的夾角θ的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識求B球的最大速度．
（2）B球上升最大時(shí)速度為零，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）設(shè)OB與豎直方向的夾角為θ時(shí)，A球和B球的速度分別為v_A、v_B．
由于兩球的角速度相同，所以由v=rω，可得，線速度之比為v_A：v_B=ω•2L：ω•L=2：1  ①
當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時(shí)，由機(jī)械能守恒得：
     mg•2Lcosθ-mg•L（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B² ②
聯(lián)立①②解得：v_B²=$\frac{2}{5}$gL（sinθ+2cosθ）-$\frac{2}{5}$gL=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$gLsin（θ+α）-$\frac{2}{5}$gL
 式中 tanα=2
由數(shù)學(xué)知識知，當(dāng)θ+α=90°時(shí)，v_B²有最大值，則 B球的最大速度為：v_Bmax=$\sqrt{\frac{2（\sqrt{5}-1）gL}{5}}$
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，OB轉(zhuǎn)動(dòng)的角度必定大于90°，設(shè)B球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，OB桿與水平方向的夾角為β．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
   mg•2Lcosβ=mgL（1+sinβ）
解得 sinβ=$\frac{3}{5}$（另一解不合理舍去）
所以B球上升的最大高度 H=L（1+sinβ）=$\frac{8}{5}$L
答：
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)過程B球的最大速度是$\sqrt{\frac{2（\sqrt{5}-1）gL}{5}}$；
（2）B球上升的最大高度是$\frac{8}{5}$L．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵根據(jù)兩個(gè)球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，運(yùn)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律列式得出B球的速度與轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ之間的關(guān)系，然后根據(jù)速度表達(dá)式進(jìn)行討論．