Question

17．如圖所示，質(zhì)量為m的物體，放在一固定斜面上，當(dāng)斜面傾角為30°時(shí)，恰能沿斜面勻速下滑，對(duì)物體施加一大小為F的水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)斜面傾角增大并超過(guò)某一臨界角θ₀時(shí)，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求：
（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）這一臨界角θ₀的大�。�

Answer 1

分析 本題（1）的關(guān)鍵是正確對(duì)物體受力分析，采用正交分解法分別列出牛頓第二定律表達(dá)式，然后求解即可；
題（2）的關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律寫出物體勻速時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，然后再討論即可．

解答 解：（1）物體m勻速下滑時(shí)應(yīng)有：mgsin30°=μmgcos30°，解得μ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）設(shè)斜面的傾角為α，對(duì)物體受力分析，由勻速運(yùn)動(dòng)的條件應(yīng)有：
Fcosα=mgsinα+f    ①
F_N=mgcosα+Fsinα     ②
f=μF_N             ③
聯(lián)立①②③可得F=$\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$，討論如下：
當(dāng)cosα-μsinα=0時(shí)，F(xiàn)→∞，即無(wú)論用多大的力都不能使物體沿斜面上滑，可解得臨界角tanθ₀=tanα=$\frac{1}{μ}$=$\sqrt{3}$，解得θ₀=60°
答：（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$；
（2）臨界角θ₀=60°．

點(diǎn)評(píng) 涉及到有關(guān)極值的問(wèn)題，應(yīng)首先根據(jù)相應(yīng)的物理規(guī)律寫出相應(yīng)的文字表達(dá)式，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)極值問(wèn)題進(jìn)行討論即可，注意數(shù)學(xué)三角函數(shù)公式的應(yīng)用．