Question

(22分)如圖（a），小球甲固定于水平氣墊導(dǎo)軌的左端，質(zhì)量m=0.4kg的小球乙可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢(shì)能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化。現(xiàn)已測(cè)出勢(shì)能隨位置x的變化規(guī)律如圖（b）中的實(shí)線所示。已知曲線最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀=20cm，虛線①為勢(shì)能變化曲線的漸近線，虛線②為經(jīng)過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線。

（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達(dá)到的最大速度為多大？
（2）假定導(dǎo)軌右側(cè)足夠長(zhǎng)，將小球乙在導(dǎo)軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經(jīng)過(guò)x₀=20cm的位置？并寫(xiě)出必要的推斷說(shuō)明；
（3）若將導(dǎo)軌右端抬高，使其與水平面的夾角α=30°，如圖(c)所示。將球乙從x₂=6cm處由靜止釋放，小球乙運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)速度最大？并求其最大速度；
（4）在圖(b)上畫(huà)出第（3）問(wèn)中小球乙的動(dòng)能E_k與位置x的關(guān)系圖線。

Answer 1

（1）（2）見(jiàn)解析（3）0.55m/s（4）見(jiàn)解析

（1）(6分)球乙運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)勢(shì)能最少，速度最大，
能量守恒：，                                       
解出                               
（2）(6分)在0<x<6cm區(qū)間內(nèi)將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經(jīng)過(guò)x₀。          
原因： 在0<x<20cm區(qū)間內(nèi)兩球之間作用力為排斥力，在20cm <x<∞區(qū)間內(nèi)兩球之間作用力為吸引力，無(wú)窮遠(yuǎn)處和6cm處的勢(shì)能均為0.28J。若小球乙的靜止釋放點(diǎn)在6cm <x<∞區(qū)間，小球乙將做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，多次經(jīng)過(guò)x₀=20cm的位置。而靜止釋放點(diǎn)在0<x<6cm區(qū)間內(nèi)時(shí)，初態(tài)勢(shì)能大于0.28J，小球乙將會(huì)運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處而無(wú)法返回，只能經(jīng)過(guò)x₀位置一次。                   
（3）(6分)x₃=12cm處的切線斜率 ，
表明此處乙球受到甲球2N的排斥力，                                  
乙球此處受到重力的分力                    
所以，乙球在x₃=12cm處時(shí)，所受合外力等于零，速度最大，              
從圖中讀出x₃=12cm處的勢(shì)能E_p3=0.1J，x₂=6cm處的勢(shì)能E_p2=0.28J，      
能量守恒：，                
解出==……=m/s =0.55m/s     
（4）(4分)作圖要求：
三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置正確：
x₂=6cm處的動(dòng)能E_k=0；                                               
x₃=12cm處的動(dòng)能E_k=0.06J；                                      
x₄=20cm處的動(dòng)能E_k=0                                                
曲線要求平滑，斜率變化正確。                                         

本題考查的是兩個(gè)物體間相互作用力與勢(shì)能的關(guān)系問(wèn)題，首先根據(jù)能量守恒勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能時(shí)速度最大計(jì)算出速度；然后根據(jù)相互作用引力與斥力的變化情況和相互作用勢(shì)能可分析出小球的釋放位置；根據(jù)受力分析與能量守恒可解出速度；最后把握幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置即可作圖；