Question

5．如圖，導熱性能良好的氣缸A和B高度均為h（已除開活塞的厚度），橫截面積不同，豎直浸沒在溫度為T₀的恒溫槽內．它們的底部由一細管連通（細管容積可忽略）．兩氣缸內各有一個活塞，質量分別為m_A=2m和m_B=m，活塞與氣缸之間無摩擦，兩活塞的下方為理想氣體，上方為真空．當活塞下方處于平衡狀態(tài)時，兩活塞底面相對于氣缸底的高度均為$\frac{h}{2}$．現(xiàn)保持恒溫槽溫度不變，在兩個活塞上面同時各緩慢加上同樣大小的壓力，讓壓力從零緩慢增加，直至其大小等于2mg（g為重力加速度）為止，并一直保持活塞上的壓力不變，系統(tǒng)再次達到平衡后，緩慢升高恒溫槽的溫度，對氣體加熱，直至氣缸B中活塞底面恰好回到高度為$\frac{h}{2}$，處，求：
（1）兩個活塞的橫截面積之比S_A：S_B
（2）氣缸內氣體的最后溫度；
（3）在加熱氣體的過程中，氣體對活塞所做的功．

Answer 1

分析 （1）開始時兩缸內的氣壓相等，從而可得出兩活塞的面積關系，
（2）兩活塞上同時各加一質量為m的物塊后，就打破了原有的平衡，面積小的活塞會下沉，直至面積小的活塞移到底部，再確定左側氣體的狀態(tài)參量，整個過程是等溫變化，由氣體的狀態(tài)方程可得出左缸氣體的高度．加熱的過程中氣體的壓強不變，溫度升高，由氣態(tài)方程求出最后的溫度；
（3）由功的公式W=FS即可求出功．

解答 解：（1）設左、右活塞的面積分別為S_A和S_B，由于氣體處于平衡狀態(tài)，故兩活塞對氣體的壓強相等，即：$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{B}g}{{S}_{B}}$    （1）
由此得到：S_A：S_B=2：1；
（2）兩活塞上各放一質量為2m的質點前，氣體的壓強P₁和體積V₁分別為：
P₁=$\frac{2mg}{{S}_{A}}$=$\frac{mg}{{S}_{B}}$    （2）
V₁=$\frac{3}{2}$S_Bh；       （3）
在兩個活塞上各加一質量為2m物塊后，B中活塞受到的氣體壓力小于它和質點所受重力之和，故B中活塞將一直下降至氣缸底部，所有氣體都在A氣缸中．
假設此時氣缸A中活塞并未上升到氣缸頂部，氣體的壓強P₂為：
P₂=$\frac{4mg}{{S}_{A}}$=$\frac{2mg}{{S}_{B}}$    （4）
設平衡時氣體體積為V2，由于初態(tài)和末態(tài)均為平衡態(tài)，則由理想氣體狀態(tài)方程有：
$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{0}}$=$\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{0}}$        （5）
聯(lián)立解得：V₂=$\frac{3}{4}$S_Bh=$\frac{3}{8}$S_Ah；  （6）
這時氣體中的體積小于氣缸A的體積，與活塞未上或到氣缸頂部的假設一致；
緩慢加熱時，氣體先等壓膨脹，B中活塞不動，A中活塞上升，A中活塞上升至頂部后，氣體等容升壓，壓強升至：
$\frac{3mg}{{S}_{B}}$，B中活塞開始上升，氣體等壓膨脹．設當溫度升至T時，該活塞恰位于$\frac{h}{2}$處，此時氣體的體積變?yōu)閂₃=$\frac{5{S}_{B}h}{2}$    （7）
氣體壓強P₃=$\frac{3mg}{{S}_{B}}$   （8）
設此時氣缸內氣體的溫度為T，則由狀態(tài)方程可知：
$\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{0}}$=$\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{T}$  （9）
聯(lián)立（4）、（6）、（7）、（8）、（9）可得：
T=5T₀；
（3）升高恒溫槽的溫度后，加熱過程中，A活塞上升量為
h-$\frac{3h}{8}$=$\frac{5h}{8}$   （10）
氣體對活塞所做的總功為：
W=4mg$•\frac{5}{8}$h+3mg$•\frac{h}{2}$=4mgh；   （11）
答：（1）活塞的橫截面積之比是2：1；
（2）氣缸內氣體的最后溫度為5T₀；
（3）在加熱氣體的過程中，氣體對活塞所做的功為4mgh．

點評 解答該題要注意兩個方面，一是根據(jù)平衡求解兩活塞的面積的關系，二是當兩活塞上放上相同質量的物體后，要會判斷出面積小的活塞下移，直至移到底部，這是解決此題的關鍵．