Question

宇航員在月球表面完成下面的實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光滑圓軌道內(nèi)部有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），如圖所示．當(dāng)在最高點(diǎn)給小球一瞬間的速度v時(shí)，剛好能使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓弧的軌道半徑為r，月球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？
（2）月球的平均密度為多大？
（3）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）由最小發(fā)射速度應(yīng)是萬有引力等于重力，而重力又充當(dāng)向心力時(shí)的圓周運(yùn)動(dòng)速度，由此可以解得最小發(fā)射速度．
（2）由萬有引力等于重力解出質(zhì)量，然后又密度等于質(zhì)量除以體積可以得到密度．
（3）由萬有引力充當(dāng)向心力的周期表達(dá)式，可以得到周期．

解答：解：（1）小球在最高點(diǎn)重力充當(dāng)向心力：mg=m

v2

r

月球近地衛(wèi)星最小發(fā)射速度：m′g=m′

v12

R

又：G

Mm′

R2

=m′g
解得：v1=

R r

v
（2）由：G

Mm

R2

=mg
得：M=

gR2

G

又：ρ=

M

V

=

M

4πR3 3

解得：ρ=

3v2

4πrRG

（3）對該衛(wèi)星有：G

Mm1

(2R)2

=m1

4π2

T2

2R
解得：T=4π

2Rr v2

答：
（1）若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為v1=

R r

v
（2）月球的平均密度為ρ=

3v2

4πrRG

（3）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為T=4π

2Rr v2

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)一是對最小發(fā)射速度的求解，應(yīng)知道最小發(fā)射速度對應(yīng)的向心力時(shí)重力．二是密度的求解，就是用質(zhì)量除以體積，這里的重點(diǎn)是依據(jù)已知量來表示質(zhì)量．