Question

如圖（a）所示，水平面上有兩根很長的平行導(dǎo)軌，間距為L，導(dǎo)軌間有豎直方向等距離間隔的勻強(qiáng)磁場B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．導(dǎo)軌上有矩形金屬框abcd，其總電阻為R，質(zhì)量為m，框的寬度ab與磁場間隔相同．開始時，金屬框靜止不動，當(dāng)兩勻強(qiáng)磁場同時以速度v₁沿直導(dǎo)軌勻速向左運(yùn)動時，金屬框也會隨之開始沿直導(dǎo)軌運(yùn)動，同時受到水平向右、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度．求：
（1）金屬框所達(dá)到的恒定速度v₂
（2）金屬框以恒定速度運(yùn)動時，單位時間內(nèi)克服阻力所做的功
（3）當(dāng)金屬框達(dá)到恒定速度后，為了維持它的運(yùn)動，磁場必須提供的功率
（4）若t=0時勻強(qiáng)磁場B₁和B₂同時由靜止開始沿直導(dǎo)軌向左做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過較短時間后，金屬框也做勻加速直線運(yùn)動，其v-t關(guān)系如圖（b）所示，已知在時刻t金屬框的瞬時速度大小為v_t，求金屬框做勻加速直線運(yùn)動時的加速度大小．

Answer 1

（1）由于磁場以速度v₁向右運(yùn)動，當(dāng)金屬框穩(wěn)定后以最大速度v₂向右運(yùn)動，此時金屬框相對于磁場的運(yùn)動速度為v₁-v₂，
根據(jù)右手定則可以判斷回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E等于ad、bc邊分別產(chǎn)生感應(yīng)電動勢之和，即E=2BL（v₁-v₂）
根據(jù)歐姆定律可得，此時金屬框中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=

E

R

=

2BL(v1-v2)

R

金屬框的兩條邊ad和bc都受到安培力作用，由題意知，ad和bc邊處于的磁場方向相反，電流方向也相反，故它們所受安培力方向一致，
故金屬框受到的安培力大小
F=2BIL=

4B2L2(v1-v2)

R

當(dāng)金屬框速度最大時，安培力與摩擦力平衡，即滿足F-f=

4B2L2(v1-v2)

R

-f=0
由此解得：金屬框達(dá)到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）因為阻力恒為f，單位時間內(nèi)阻力所做的功即為阻力做功的功率
所以Pf=fv2=fv1-

f2R

4B2L2

（3）當(dāng)金屬框達(dá)到穩(wěn)定速度后，電路中消耗的電功率
P電=I2R=[

2BL(v1-v2)

R

]2R=(

f

2BL

)2R=

f2R

4B2L2

據(jù)能量守恒，磁場提供的功率P=P_電+P_f=

f2R

4B2L2

+fv1-

f2R

4B2L2

=fv₁
（4）因為線框在運(yùn)動過程中受到安培力和阻力作用，合力產(chǎn)生加速度，根據(jù)牛頓第二定律有：
F-f=ma，即

4B2L2(v1-v2)

R

-f=ma        ①
線框做勻加速直線運(yùn)動，加速度a恒定，故有（v₁-v₂）為一定值，即線框的加速度與磁場的加速度相等，
即v₁=at，代入①式得：

4B2L2(at-vt)

R

-f=ma
解得：a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

答：（1）金屬框所達(dá)到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）金屬框以恒定速度運(yùn)動時，單位時間內(nèi)克服阻力所做的功為fv1-

f2R

4B2L2

（3）當(dāng)金屬框達(dá)到恒定速度后，為了維持它的運(yùn)動，磁場必須提供的功率P=fv₁
（4）求金屬框做勻加速直線運(yùn)動時的加速度大小a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

．