Question

16．如圖所示，豎直放置的光滑圓環(huán)上，穿過一個絕緣小球，小球質量為m，帶電量為q，整個裝置置于水平向左的勻強電場中．今將小球從與環(huán)心O在同一水平線上的A點由靜止釋放，它剛能順時針方向運動到環(huán)的最高點D，而速度為零，已知圓環(huán)半徑為r，重力加速度為g．則
（1）電場強度大小為多大？
（2）小球到達最低點B時速度為多少？
（3）要使小球能完成完整的圓周運動，則從A點向下拋出的速度滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由動能定理可以求出電場強度．
（2）由動能定理可以求出小球到達B時的速度．
（3）寫出小球相對于A點的重力勢能的表達式與電勢能的表達式，當重力勢能與電勢能的和最大處，小球的動能最小，結合功能關系即可求出．

解答 解：小球在運動過程中受到重力、電場力與環(huán)的彈力作用，環(huán)的彈力對小球不做功；
（1）從A到D的過程中，
由動能定理得：-mgr+qEr=0-0，
解得：E=$\frac{mg}{q}$  ①
（2）從A到B的過程中，
由動能定理得：mgr+qEr=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=2$\sqrt{gr}$；
（3）以A點為小球的重力勢能的零點與電勢能的零點，當小球向下順時針方向轉過角度α時的重力勢能為：
E_PG=-mgr•sinα
小球的電勢能：E_PE=-qEr（1-cosα）
重力勢能與電勢能的和：E_P=-mgrsinα-qEr（1-cosα）   ②
聯(lián)立①②，得：E_P=-mgr（1+sinα-cosα）
由數(shù)學關系可知，當α=315°時，E_P有最大值為E_Pm=$mgr（\sqrt{2}-1）$．
由于小球沿環(huán)運動，所以小球的最小速度可以為0．
結合功能關系可知，當小球的動能最小時，小球的電勢能與重力勢能的和最大，所以得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=0+EPm=mgr（\sqrt{2}-1）$
則：${v}_{0}=\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$
即使小球能完成完整的圓周運動，則從A點向下拋出的速度${v}_{0}≥\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$
答：（1）電場強度大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）小球到達最低點B時速度為$2\sqrt{gr}$；
（3）要使小球能完成完整的圓周運動，則從A點向下拋出的速度滿足${v}_{0}≥\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$

點評 本題考查豎直平面內的圓周運動物體，涉及求電場強度、小球的速度、環(huán)受到的壓力等問題，對小球正確受力分析、熟練應用動能定理、向心力公式即可正確解題．