Question

1．如圖1所示，兩根粗糙、足夠長的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ彼此平行，與水平面夾角為θ，導(dǎo)軌間距為L，金屬導(dǎo)軌上單位長度的電阻阻值為r；M、P兩點間接有一電源，電動勢為E，內(nèi)阻不計，其中MP與導(dǎo)軌垂直，M、P間導(dǎo)線的電阻忽略不計．一根質(zhì)量為m、電阻不計的直金屬桿放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直，且處處與導(dǎo)軌接觸良好．整套裝置處于磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直斜面向下的勻強磁場中，重力加速度為g．

（1）若金屬桿放在導(dǎo)軌上某位置時，恰好不受導(dǎo)軌的摩擦力而靜止，求該位置到MP的距離：
（2）若金屬桿只能放在如圖1中導(dǎo)軌ab、cd之間才能保持靜止，且a、b分別為cM、dP的中點，求導(dǎo)軌ac長度的電阻．（已知沒有磁場時，金屬桿不能自由靜止在導(dǎo)軌上）

Answer 1

分析 （1）金屬桿恰好不受導(dǎo)軌的摩擦力而靜止時，受到重力、導(dǎo)軌的支持力和安培力而平衡，由平衡條件和安培力公式求出導(dǎo)軌的電阻，從而得到該位置到MP的距離．
（2）金屬桿只能放在如圖1中導(dǎo)軌ab、cd之間才能保持靜止，說明在cd處剛好不下滑，在ab處剛好不上滑，根據(jù)平衡條件求解．
（3）求出金屬棒剛好不上滑和剛好不下滑時所受的安培力，再求出電流的范圍，得到電阻的范圍．

解答 解：（1）設(shè)該位置到MP的距離為x．
金屬桿恰好不受導(dǎo)軌的摩擦力而靜止時，有 mgsinθ=BIL，I=$\frac{E}{2xr}$
聯(lián)立得 x=$\frac{BLE}{2mgrsinθ}$
（2）設(shè)導(dǎo)軌ac長度的電阻為R′，最大靜摩擦力為f．
據(jù)題：ab棒在cd處剛好不下滑，則有 mgsinθ=B$\frac{E}{4R′}$L+f
在ab處剛好不上滑，則有 mgsinθ+f=B$\frac{E}{2R′}$L
聯(lián)立解得 R′=$\frac{3BLE}{8mgsinθ}$，f=$\frac{1}{3}$mgsinθ
答：
（1）該位置到MP的距離為 $\frac{BLE}{2mgrsinθ}$．
（2）導(dǎo)軌ac長度的電阻為$\frac{3BLE}{8mgsinθ}$．

點評 對于通電導(dǎo)體在磁場中平衡問題，關(guān)鍵要正確分析受力情況，把握導(dǎo)體棒剛好滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大，由平衡條件和安培力公式研究．