Question

（2009?海南）如圖，ABCD是邊長為a的正方形．質量為m、電荷量為e的電子以大小為v₀的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域．在正方形內適當區(qū)域中有勻強磁場．電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場．不計重力，求：
（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的方向和大��；
（2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可確定出粒子運動的圓心和半徑，則由洛侖茲力及牛頓第二定律可求得磁感應強度B；
（2）由幾何關系可得出最小磁場的兩個邊界，則由幾何關系即可求得磁場區(qū)域的面積．

解答：解：（1）設勻強磁場的磁感應強度的大小為B．令圓弧

AEC

是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道．電子所受到的磁場的作用力f=ev₀B
應指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應垂直于紙面向外．圓弧

AEC

的圓心在CB邊或其延長線上．依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點即為圓心，圓半徑為a按照牛頓定律有f=m

v 2 0

2

聯立①②式得B=

mv0

ea

（2）由（1）中決定的磁感應強度的方向和大小，可知自C點垂直于BC入射電子在A點沿DA方向射出，且自BC邊上其它點垂直于入射的電子的運動軌道只能在BAEC區(qū)域中．因而，圓弧

AEC

是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界．
為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點的電子的速度方向與BA的延長線交角為θ（不妨設0≤θ＜

π

2

）的情形．該電子的運動軌跡qpA如圖所示．
圖中，圓

AP

的圓心為O，pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧

AP

的半徑仍為a，在D為原點、DC為x軸，AD為y軸的坐標系中，P點的坐標（x，y）為x=asinθ
y=-[a-（a-acosθ）]=-acosθ
這意味著，在范圍0≤θ≤

π

2

內，p點形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周

AFC

，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構成所求磁場區(qū)域的另一邊界．
因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域時分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周

AEC

和

AFC

所圍成的，其面積為S=2(

1

4

πa2-

1

2

a2)=

π-2

2

a2

點評：在帶電粒子在磁場中運動中，要注意圓心及半徑的確定；同時應利用好幾何關系；此類問題對學生的要求較高，要求學生具有較好的數學功底；在做題時，要注意畫圖．