Question

19．三個半徑為0.3m的轉(zhuǎn)動輪構(gòu)成如圖所示的傳送帶，傳送帶以5m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，其中傳送帶的傾斜部分AB與水平方向成30°的傾角，皮帶AB部分長為7m，傳送帶的水平部分離地高度為4.5m，在傳送帶的右側(cè)有一個高為0.5m的水平轉(zhuǎn)盤，能以豎直軸MN水平轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)盤上距離轉(zhuǎn)軸0.2m處有個缺口P．現(xiàn)將質(zhì)量為2kg的物塊無初速度地放在A處，物塊與皮帶間的動摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，物塊通過轉(zhuǎn)動輪B時可認為其速度只改變方向不改變大�。�
求：（1）物塊A在傳送帶的傾斜部分AB運動的時間；
（2）若物塊A由傳送帶的傾斜部分運動到水平部分B點時時，傳送帶的轉(zhuǎn)動方向突然改變，速度大小保持不變，為使物塊A恰能從C處平拋離開傳送帶，傳送帶的水平部分BC需要多長；
（3）在（2）的條件下，物塊A從C處平拋時，轉(zhuǎn)盤上的缺口P（缺口略大于物體A）恰好轉(zhuǎn)到圖示位置與物塊A做平拋運動的軌跡在同一豎直平面內(nèi)，為使物塊A能順利通過缺口，水平轉(zhuǎn)盤的角速度及轉(zhuǎn)軸MN與O點間的水平距離需滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對物塊進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊加速過程中的加速度大小，由位移公式求出選手加速的位移和時間；與傳送帶的長度比較，看是否有做勻速直線運動的可能；若有，由勻速直線運動的位移公式求出時間；兩段時間的和即為所求；
（2）由題意得物塊在C處恰能平拋的條件為只受重力，由此求出物塊在C點的速度，然后由位移速度公式即可求出傳送帶的長度；
（3）結(jié)合平拋運動的知識求出落地點與C點的水平距離x，然后結(jié)合運動學(xué)的公式即可求出水平轉(zhuǎn)盤的角速度及轉(zhuǎn)軸MN與O點間的水平距離需滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)物塊加速到與傳送帶速度相同時運動的位移為x
根據(jù)運動學(xué)公式：2ax=v²①
沿傳送帶AB面，應(yīng)用牛頓第二定律：f-mgsin30°=ma②
垂直于傳送帶AB面，受力平衡：${F_N}=mgcos{30^o}$③
根據(jù)滑動摩擦力的定義：f=μF_N④
聯(lián)立①②③④可得：a=2.5m/s²，x=5m
因為x＜L且物塊與傳送帶的動摩擦因數(shù)μ＞tan30°，所以物塊在傳送帶AB上先做初速度為零的勻加速直線運動，而后做勻速運動到達B點．
物塊做勻加速直線運動的時間t₁滿足：${t_1}=\frac{v}{a}=2s$
物塊做勻速直線運動的時間t₂滿足：${t_2}=\frac{L-x}{v}=0.4s$
在傳送帶AB上運動的總時間為：t_總=t₁+t₂=2.4s
（2）物塊在C處恰能平拋的條件為只受重力，且重力全部用來提供物塊在該位置所需向心力
即：$mg=m\frac{v^2}{R}$，所以${v_C}=\sqrt{gR}=\sqrt{3}m$
根據(jù)物塊在水平傳送帶上的受力，有μmg=ma'，所以$a'=μg=5\sqrt{3}m/{s^2}$
根據(jù)$2a'{x_{BC}}={v_B}^2-{v_C}^2$，可得：${x_{BC}}=\frac{{11\sqrt{3}}}{15}m$
（3）設(shè)物塊做平拋運動的時間為t，
根據(jù)$H-h=\frac{1}{2}g{t^2}$，可得：$t=\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}s$
物塊運動到水平轉(zhuǎn)盤所在水平面所走過的水平位移滿足：$x'={v_C}t=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}m$
此過程中為使物塊能順利穿過缺口，轉(zhuǎn)軸MN與O點間的水平距離X及水平轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω需要滿足的條件：
當(dāng)$X=x'+r=\frac{{2\sqrt{15}+1}}{5}m$時，$ω=\frac{（2n+1）π}{t}=\frac{\sqrt{5}}{2}（2n+1）π$rad/s，其中n=0，1，2，3…
當(dāng)$X=x'-r=\frac{{2\sqrt{15}-1}}{5}m$時，$ω=\frac{2nπ}{t}=\sqrt{5}nπ$rad/s其中n=1，2，3…
答：（1）物塊A在傳送帶的傾斜部分AB運動的時間是2.4s；
（2）為使物塊A恰能從C處平拋離開傳送帶，傳送帶的水平部分BC需要長$\frac{11\sqrt{3}}{15}$m；
（3）在（2）的條件下，為使物塊A能順利通過缺口，水平轉(zhuǎn)盤的角速度及轉(zhuǎn)軸MN與O點間的水平距離需滿足的條件為：當(dāng)$X=x'+r=\frac{{2\sqrt{15}+1}}{5}m$時，$ω=\frac{\sqrt{5}}{2}（2n+1）π$rad/s，其中n=0，1，2，3…
當(dāng)$X=x'-r=\frac{{2\sqrt{15}-1}}{5}m$時，$ω=\sqrt{5}nπ$rad/s其中n=1，2，3…

點評 解決本題的關(guān)鍵理清物塊的運動情況，把握運動的過程，然后結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解；同時要考慮圓周運動的周期性．