Question

15．光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)連接，導(dǎo)軌半徑R=0.5m，一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小球在A處壓縮一輕質(zhì)彈簧，彈簧與小球不拴接．用手擋住小球不動(dòng)，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能E_P=49J，如圖所示．放手后小球向右運(yùn)動(dòng)脫離彈簧，沿圓形軌道向上運(yùn)動(dòng)恰能通過最高點(diǎn)C，取g=10m/s²，求：
（1）小球脫離彈簧時(shí)的速度大��？
（2）小球通過B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力？
（3）小球從B到C克服阻力做的功？

Answer 1

分析 （1）在小球脫離彈簧的過程中只有彈簧彈力做功，根據(jù)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系和動(dòng)能定理可以求出小球的脫離彈簧時(shí)的速度v；
（2）在B點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力，根據(jù)牛頓第三定律列式求解壓力；
（3）小球從B到C的過程中只有重力和阻力做功，根據(jù)小球恰好能通過最高點(diǎn)的條件得到小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度，從而根據(jù)動(dòng)能定理求解從B至C過程中小球克服阻力做的功．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)開始至小球脫離彈簧的過程中根據(jù)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系有：
W_彈=-△E_P彈=-（0-E_p）=49J
對(duì)小球而言，此過程只有彈力做功，故有：W_彈=$\frac{1}{2}$mv²-0，
得小球脫離彈簧時(shí)的速度為：v=$\sqrt{\frac{2{W}_{彈}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×49}{2}}$m/s=7m/s
（2）在B點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律，有：
N′=N
聯(lián)立解得：
N′=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=2×10+2×$\frac{{7}^{2}}{0.5}$=216N
（3）小球恰好能通過最高點(diǎn)C，故在最高點(diǎn)小球只受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律有：
F_合=mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得小球在C點(diǎn)時(shí)的速度為：
v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$m/s=$\sqrt{5}$m/s
因?yàn)锳B段光滑，小球在B點(diǎn)時(shí)的速度等于小球脫離彈簧時(shí)的速度即：v_B=v=7m/s
在從B至C的過程中只有重力和阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W_G+W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
得阻力做功為：
W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-W_G=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{5}$）²-$\frac{1}{2}$×2×7²-（-2×10×2×0.5）J=-24J
所以從B至C的過程中小球克服阻力做功24J；
答：（1）小球脫離彈簧時(shí)的速度大小為7m/s；
（2）小球通過B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為216N；
（3）小球從B到C克服阻力做的功為24J．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的速度，再結(jié)合動(dòng)能定理、向心力公式的知識(shí)求解．