Question

豎直放置的光滑圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度v0=

1 2 gR

，其中R為圓環(huán)的半徑．下列說法中正確的是（　�。�

• A．小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度等于

  3

  2

  2gR

• B．小球經(jīng)過任意一條直徑兩端時(shí)的動(dòng)能之和都相等
• C．小球繞圓環(huán)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間大于

  2πR

  v0

• D．小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力等于4.5mg

Answer 1

分析：（1）小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式即可求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律判斷小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時(shí)的動(dòng)能之和是否是一定值．
（3）根據(jù)路程與時(shí)間的比值計(jì)算小球繞圓環(huán)一周的時(shí)間
（4）小球在最低點(diǎn)時(shí)，受到的合外力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)軌道對(duì)小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式即可求解；

解答：解：A、小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
mg?2R+

1

2

mv02=

1

2

mv2，解得：v=

3

2

2gR

，故A正確；
B、小球在運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，小球在最高點(diǎn)的機(jī)械能等于最低點(diǎn)的機(jī)械能，設(shè)最低點(diǎn)為零勢(shì)能平面有：E_k1+mg2R=E_k2=定量C，
則E_K1+E_K2+mg?2R=2C，在運(yùn)動(dòng)的過程中小球經(jīng)過某一位置重力勢(shì)能減小多少，則經(jīng)過關(guān)于圓心對(duì)稱的位置重力勢(shì)能就增加多少．所以小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時(shí)的動(dòng)能之和是一個(gè)恒定值．故B正確．
C、小球做的運(yùn)動(dòng)不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，最高點(diǎn)的速度最小，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t＜

2πR

v0

．故C錯(cuò)誤．
D、小球在最低點(diǎn)時(shí)，受到的合外力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)軌道對(duì)小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式
N-mg=m

v2

R

；代入數(shù)據(jù)解得：N=5.5mg                              
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力：N′=N=5.5mg．  故D錯(cuò)誤．
故選：AB．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，關(guān)鍵理清向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．