Question

18．在一傾斜的淺色長傳送帶底端輕輕放置一煤塊（可視為質(zhì)點），長傳送帶與水平面夾角為θ，長度為L，煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ．初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的．現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a₀開始運動，當其速度達到v₀后，便以此速度做勻速運動．經(jīng)過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動．（最大靜摩擦力可視為滑動摩擦力）
（1）求此黑色痕跡的長度；
（2）求煤塊運送到頂端所需時間．

Answer 1

分析 （1）傳送帶先加速后勻速，煤塊先加速，當速度增大到等于傳送帶速度后，與傳送帶不再相對滑動，一起勻速．先根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)運動學公式計算出運動時間，求出煤塊和皮帶的位移后，即可以得到黑色痕跡的長度．
（2）煤塊運送到頂端的時間是勻加速時間和勻速運動時間之和

解答 解：（1）煤塊受力分析，受到重力、支持力和向上的滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有
μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得：a=μgcosθ-gsinθ
勻加速時間$t=\frac{{V}_{0}^{\;}}{a}=\frac{{V}_{0}^{\;}}{μgcosθ-gsinθ}$
煤塊位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{{V}_{0}^{\;}}{2}t$
傳送帶位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{V}_{0}^{2}}{2{a}_{0}^{\;}}$
相對位移：$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=\frac{{V}_{0}^{\;}}{2}t-\frac{{V}_{0}^{2}}{2{a}_{0}^{\;}}$=$\frac{{V}_{0}^{2}}{2}（\frac{1}{g（μcosθ-sinθ）}-\frac{1}{{a}_{0}^{\;}}）$
黑色痕跡的長度等于煤塊與傳送帶間的相對位移；
（2）煤塊勻加速運動的時間${t}_{1}^{\;}=\frac{{V}_{0}^{\;}}{a}$
煤塊勻速運動的位移：$L-\frac{{V}_{0}^{2}}{2a}$
勻速運動的時間：${t}_{2}^{\;}=\frac{L-\frac{{V}_{0}^{2}}{2a}}{{V}_{0}^{\;}}=\frac{L}{{V}_{0}^{\;}}-\frac{{V}_{0}^{\;}}{2a}$
總時間：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{L}{{V}_{0}^{\;}}+\frac{{V}_{0}^{\;}}{2a}$=$\frac{L}{{V}_{0}^{\;}}+\frac{{V}_{0}^{\;}}{2g（μcosθ-sinθ）}$
答：（1）此黑色痕跡的長度$\frac{{V}_{0}^{2}}{2}（\frac{1}{g（μcosθ-sinθ）}-\frac{1}{{a}_{0}^{\;}}）$；
（2）煤塊運送到頂端所需時間$\frac{L}{{V}_{0}^{\;}}+\frac{{V}_{0}^{\;}}{2g（μcosθ-sinθ）}$

點評 本題關鍵分析清楚皮帶和煤塊的受力情況和運動情況，然后根據(jù)運動學公式求解．