Question

7．小汽車正前方s處有一輛正在以速度v₀行駛的載重卡車，此時小汽車因有急事需追趕載重卡車，于是通知載重卡車司機(jī)，卡車司機(jī)立即以加速度大小為a₁做勻減速運動，同時小汽車從靜止開始以加速度大小為a₂做勻加速運動，試求汽車需多長時間可追上載重卡車．

Answer 1

分析 在汽車的追擊和相遇的問題中，當(dāng)有汽車在做減速運動時，一定要注意汽車的運動時間的判斷，貨車的運動的時間和小汽車的運動的時間很可能是不一致的，所以要分情況來討論．

解答 解：分兩種情況討論：
由于載重卡車經(jīng)$\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$時間停下，在這段時間內(nèi)小汽車的位移為$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}$
（1）若$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}＞s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$，則小汽車在載重卡車停下前追上，有
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=s+{v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\frac{{v}_{0}^{\;}+\sqrt{{v}_{0}^{2}+2（{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}）s}}{{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}}$
（2）若$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}＜s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$，則小汽車在載重卡車停下后追上，有
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}^{\;}}+\frac{{v}_{0}^{2}}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}+2{a}_{1}^{\;}s}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}$
答：Ⅰ、小汽車在載重卡車停下前追上，則$t=\frac{{v}_{0}^{\;}+\sqrt{{v}_{0}^{2}+2（{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}）s}}{{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}}$
Ⅱ、小汽車在載重卡車停下后追上，則$t=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}+2{a}_{1}^{\;}s}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}$

點評 對汽車的這種追擊問題，在分析問題的時候一定要注意汽車的剎車的時間，從而先判斷出車的運動的情況．