Question

14．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中的三角形FGH區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為F（-3L，5L）、G（-3L，-3L）、H（5L，-3L）．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一體積可忽略的粒子發(fā)射裝置，能夠連續(xù)不斷的在該平面內(nèi)向各個(gè)方向均勻的發(fā)射速度大小相等的帶正電的同種粒子，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)射粒子數(shù)目穩(wěn)定．粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子間的相互作用以及粒子的重力．
（1）速率在什么范圍內(nèi)所有粒子均不可能射出該三角形區(qū)域？
（2）如果粒子的發(fā)射速率為$\frac{\sqrt{2}qBL}{m}$，設(shè)在時(shí)間t內(nèi)粒子源發(fā)射粒子的總個(gè)數(shù)為N，在FH邊上安裝一個(gè)可以吸收粒子的擋板，那么該時(shí)間段內(nèi)能夠打在擋板FH上的粒子有多少？并求出擋板上被粒子打中的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子速度．
（2）求出粒子軌道半徑，然后應(yīng)用幾何知識(shí)求出長(zhǎng)度．

解答 解：（1）如圖所示，以O(shè)M為直徑的粒子在運(yùn)動(dòng)過程中剛好不飛離磁場(chǎng)，可以保證所有粒子均不能射出三角形區(qū)域．
根據(jù)幾何關(guān)系，OM=2r₀=$\sqrt{2}L$，
根據(jù)牛頓第二定律得：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r_0}$，
可得滿足：${v_0}≤\frac{{\sqrt{2}qBL}}{2m}$的粒子均不可能射出該三角形區(qū)域；
（2）當(dāng)粒子速率v=$\frac{{\sqrt{2}qBL}}{m}$時(shí)，可求得其做圓周運(yùn)動(dòng)半徑：$r=\sqrt{2}L$，
如圖所示，當(dāng)粒子的入射速度方向沿OM的反方向時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡與FH相切于J點(diǎn)；
當(dāng)粒子的入射速度方向沿OM時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡與FH相切于I點(diǎn)，介于這二者之間的入射粒子均可打在擋板FH上，共計(jì)$\frac{N}{2}$，
擋板上被粒子打中的長(zhǎng)度為圖中IK之間的距離，其中：IM=$r=\sqrt{2}L$，
OK=2$r=2\sqrt{2}L$，$MK=\sqrt{O{K^2}-O{M^2}}$=$\sqrt{6}L$，
擋板上被粒子打中的長(zhǎng)度：IK=$（\sqrt{2}+\sqrt{6}）L$；
答：（1）速率在${v_0}≤\frac{{\sqrt{2}qBL}}{2m}$的粒子均不可能射出該三角形區(qū)域．
（2）該時(shí)間段內(nèi)能夠打在擋板FH上的粒子$\frac{N}{2}$，并求出擋板上被粒子打中的長(zhǎng)度為（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）L．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求粒子速度、粒子數(shù)與長(zhǎng)度，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用幾何知識(shí)、牛頓第二定律即可正確解題．