Question

（2004?江蘇模擬）1951年，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了“電子偶數(shù)”，所謂“電子偶數(shù)”，就是由一個(gè)負(fù)電子和一個(gè)正電子繞它們的質(zhì)量中心旋轉(zhuǎn)形成的相對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)．已知正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m_e，普朗克常數(shù)為h，靜電力常量為k．
（1）若正、負(fù)電子是由一個(gè)光子和核場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的，且相互作用過程中核場(chǎng)不提供能量，則此光子的頻率必須大于某個(gè)臨界值，此臨界值為多大？
（2）假設(shè)“電子偶數(shù)”中正、負(fù)電子繞它們質(zhì)量中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r、運(yùn)動(dòng)速度v及電子的質(zhì)量滿足量子化理論：
2m_ev_nr_n=n

h

2π

，n=1，2…，“電子偶數(shù)”的能量為正負(fù)電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和系統(tǒng)的電勢(shì)能之和，已知兩正負(fù)電子相距為L(zhǎng)時(shí)的電勢(shì)能為Ep=-k

e2

L

．試求n=1時(shí)“電子偶數(shù)”的能量．
（3）“電子偶數(shù)”由第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)發(fā)出光子的波長(zhǎng)為多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程求出光子頻率的臨界值．
（2）電子偶數(shù)能量等于兩個(gè)電子動(dòng)能和電勢(shì)能之和，根據(jù)庫(kù)侖引力提供向心力求出電子的動(dòng)能，結(jié)合電勢(shì)能表達(dá)式和2m_ev_nr_n=n

h

2π

，求出電子偶數(shù)的能量．
（3）通過Em-En=h

c

λ

求出“電子偶數(shù)”由第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)發(fā)出光子的波長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)光子頻率的臨界值為ν₀，則由能量定恒可得hv₀=2m_ec²，v₀=

2mec2

h

①
（2）由于正、負(fù)電子質(zhì)量相等，故兩電子的軌道半徑相等，設(shè)為r_n，則正、負(fù)電子間距為2r_n，速度均為v_n，則由牛頓第二定律可得

ke2

4rn2

=me

vn2

rn

②
依題意，有2mevnrn=n

h

2π

③
而電子偶數(shù)能量　En=2×

1

2

me

v

2 n

-

ke2

2rn

④
由②③④聯(lián)立得En=-

mek2π2e4

h2n2

，n=1，2…⑤
當(dāng)n=1時(shí)，E=-

mek2π2e4

h2

．
（3）由⑤式可得電子偶數(shù)處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)的能量為E2=

1

4

E1，即與En=

E1

n2

相同．設(shè)電子偶數(shù)從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時(shí)發(fā)出光子的波長(zhǎng)為λ，則E2-E1=

hc

λ

⑥
由以上各式可解得λ=

4h3c

3mek2π2e4

⑦
答：（1）臨界值為

2mec2

h

．
（2）n=1時(shí)“電子偶數(shù)”的能量為-

mek2π2e4

h2

．
（3））“電子偶數(shù)”由第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)發(fā)出光子的波長(zhǎng)為λ=

4h3c

3mek2π2e4

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠從題目中挖掘信息，結(jié)合愛因斯坦質(zhì)能方程、能級(jí)躍遷、原子能量進(jìn)行分析求解．