Question

9．如圖所示，兩塊相同的金屬板正對(duì)著水平放置，金屬板長(zhǎng)為d，兩板間距為$\sqrt{3}$d，上極板帶正電，金屬板右端接一充滿(mǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd，且ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正粒子，沿兩板間中心軸線以初速度v₀進(jìn)人兩板間，恰好從下極板右端射出，接著從ad邊的中心O點(diǎn)垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子A重力．
（1）求兩板間的電壓U；
（2）試討論粒子可以從矩形區(qū)域abcd的哪幾條邊界射出場(chǎng)區(qū)，從這幾條邊界射出時(shí)對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小范剔粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解即可；
（2）對(duì)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解末速度v；進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律列式分析討論．

解答 解：（1）粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
a=$\frac{qU}{m•\sqrt{3}d}$
根據(jù)分位移公式，有：
d=v₀t 
$\frac{\sqrt{3}}{2}d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
聯(lián)立解得：
U=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{q}$
（2）粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
v_x=v₀ 
v_y=at 
合速度大小：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
速度偏轉(zhuǎn)角的正切值為：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
聯(lián)立解得：
v=2v₀
tanθ=$\sqrt{3}$，故θ=60°
假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度從零開(kāi)始增加，根據(jù)公式r=$\frac{mv}{qB}$，軌道半徑也就從零開(kāi)始增加，討論如下：
臨界一：
B=0，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從cd邊射出，速度偏轉(zhuǎn)角為零；
臨界二：
軌道與cd相切，軌跡如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
sin30°=$\frac{r-\sqrt{3}d}{r}$
解得：r=2$\sqrt{3}$d
速度偏轉(zhuǎn)角等于圓弧的圓心角，為150°；
洛倫茲力提供向心力，故：
$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：
${B}_{1}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$
臨界三：
軌跡與ab邊相切，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R+Rsin30°=$\sqrt{3}d$
解得：R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}d$
速度偏轉(zhuǎn)角等于圓弧的圓心角，為300°；
洛倫茲力提供向心力，故：
$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
${B}_{2}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qd}$
故B≤$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為60°，從cd邊射出；
$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$＜B＜$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為150°，從ab邊射出；
B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為300°，從ad邊射出；
答：（1）兩板間的電壓U為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（2）當(dāng)B≤$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為60°，從cd邊射出；
當(dāng)$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$＜B＜$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為150°，從ab邊射出；
當(dāng)B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為300°，從ad邊射出．

點(diǎn)評(píng) 本題要明確粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，分為類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，關(guān)鍵是找出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系、牛頓第二定律進(jìn)行分析，不難．