Question

9．如圖所示，長度為L=1.2m的木板A放在水平地面上，小物塊B（可看成質點）放在木板A的最右端，A、B質量均為m=5kg，A與地面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.3，A與B間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，開始A、B均靜止．現(xiàn)用以一水平恒力F=60N作用在A上，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²，求：
（1）恒力F剛作用在A上時，A、B各自的加速度大小；
（2）要使B不從A上掉下，恒力F作用的最長時間．

Answer 1

分析 （1）應用牛頓第二定律求出A、B相對滑動的臨界加速度、求出A、B相對滑動的臨界拉力大小，根據(jù)拉力與臨界拉力的關系判斷A、B的運動狀態(tài)，然后應用牛頓第二定律求出A、B的加速度．
（2）有拉力時A、B均做初速度為零的勻加速直線運動，撤去拉力后A做勻減速直線運動，B做勻加速直線運動，當兩者速度相等時如果B恰好到達A的最后端，則B恰好不從A上滑落，拉力的作用時間最長，應用牛頓第二定律與運動學公式求出拉力的作用時間．

解答 解：（1）A、B相對靜止時，系統(tǒng)的最大加速度為：a=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μ₂g=2m/s²，
由牛頓第二定律可知，臨界拉力：F_臨-μ₁（m_A+m_B）a=（m_A+m_B）a，
解得：F_臨=50N，
由此可知，當拉力小于等于50N時，A、B相對靜止一起做勻加速直線運動，當拉力大于50N時A、B相對滑動，已知拉力F=60N＞F_臨，A、B相對滑動，由牛頓第二定律可知，加速度為：
a_B=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μ₂g=2m/s²，
a_A=$\frac{F-{μ}_{2}{m}_{B}g-{μ}_{1}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}}$=$\frac{60-0.2×5×10-0.3×（5+5）×10}{5}$=4m/s²；
（2）開始A、B均做勻加速直線運動，設拉力的作用時間為t，則剛撤去拉力時物體的速度為：
v_A=a_At=4t，
v_B=a_Bt=2t，
此過程A、B的位移為：
x_A=$\frac{1}{2}$a_At²=2t²，
x_B=$\frac{1}{2}$a_Bt²=t²，
撤去拉力后B繼續(xù)做勻加速直線運動，A做勻減速直線運動，有：
a_B′=a_B=2m/s²，
a_A′=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g+{μ}_{1}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}}$=$\frac{0.2×5×10+0.3×（5+5）×10}{5}$=8m/s²，
設經(jīng)過時間t′A、B的速度相等，此時他們的共同速度為v，
則：v=v_B+a_B′t′=2t+2t′，v=a_A′t′-a_A′t′=4t-8t′，
則：2t+2t′=4t-8t′，t=5t′，
此過程A、B的位移為：
x_A′=v_At′-$\frac{1}{2}$a_A′t′²=4tt′-$\frac{1}{2}$×8×t′²=$\frac{16{t}^{2}}{25}$，
x_B′=v_Bt′+$\frac{1}{2}$a_B′t′²=2tt′+$\frac{1}{2}$×2×t′²=$\frac{11{t}^{2}}{25}$，
B恰好不從A上掉下需要滿足：x_A+x_A′-（x_B+x_B′）=L，
即：2t²+$\frac{16{t}^{2}}{25}$-（t²+$\frac{11{t}^{2}}{25}$）=1.2，
解得：t=1s；
答：（1）恒力F剛作用在A上時，A、B各自的加速度大小分別是4m/s²、2m/s²；
（2）要使B不從A上掉下，恒力F作用的最長時間為1s．

點評 本題是運動學與動力學相結合的一道綜合題，物體的運動過程復雜，分析清楚物體的運動過程是解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題；解題時注意臨界條件的應用．