Question

5．如圖所示，在豎直平面內有一質量為M的光滑“π”形線框EFCD，EF長為L，電阻為r，F(xiàn)C=ED=2L，電阻不計．FC、ED的上半部分（長為L）處于勻強磁場Ⅰ區(qū)域中，且FC、ED的中點與其下邊界重合．質量為m、電阻為3r的金屬棒用承受最大拉力為2mg的絕緣細線懸掛著，其兩端與C、D兩端點接觸良好，處在勻強磁場Ⅱ區(qū)域中，并可在FC、ED上無摩擦滑動．現(xiàn)將“π”形線框由靜止釋放，當EF到達磁場Ⅰ區(qū)域的下邊界時速度為v，細線恰好斷裂，Ⅱ區(qū)域內磁場立即消失．重力加速度為g．求：
（1）整個過程中，回路中電流所做的功；
（2）I區(qū)域磁場B₁和Ⅱ區(qū)域磁場B₂的關系式；
（3）線框的EF邊追上金屬棒CD時，金屬棒CD下落的高度．

Answer 1

分析 （1）對線框根據(jù)動能定理求解回路中電流所做的功；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律求解電流強度，對CD棒，根據(jù)共點力的平衡條件列方程求解B₁和B₂的關系式；
（3）分析繩子斷裂后二者的運動情況，根據(jù)運動學公式求解相遇的時間，再根據(jù)自由落體運動的位移時間關系求解位移．

解答 解：（1）設整個過程中，回路中電流所做的功為W，根據(jù)動能定理可得：
$MgL+W=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，
解得：$W=\frac{1}{2}M{v}^{2}-MgL$；
（2）當線框的速度為v時，根據(jù)法拉第電磁感應定律可得感應電動勢E=B₁Lv，
此時回路中的電流強度為$I=\frac{E}{4r}=\frac{{B}_{1}Lv}{4r}$，
對CD棒，根據(jù)共點力的平衡條件可得：B₂IL+mg=2mg，
解得：${B}_{1}{B}_{2}=\frac{4mgr}{{L}^{2}v}$；
（3）繩子斷開后，EF和CD下落過程中都是只受重力，設經過t時間EF追上CD，則：
vt+$\frac{1}{2}g{t}^{2}$-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=L，
解得：$t=\frac{L}{v}$，
此過程中金屬棒CD下落的高度h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}g×\frac{{L}^{2}}{{v}^{2}}=\frac{g{L}^{2}}{2{v}^{2}}$．
答：（1）整個過程中，回路中電流所做的功為$\frac{1}{2}M{v}^{2}-MgL$；
（2）I區(qū)域磁場B₁和Ⅱ區(qū)域磁場B₂的關系式為${B}_{1}{B}_{2}=\frac{4mgr}{{L}^{2}v}$；
（3）線框的EF邊追上金屬棒CD時，金屬棒CD下落的高度為$\frac{g{L}^{2}}{2{v}^{2}}$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．