Question

17．如圖所示，在MN下方存在豎立向上的勻強電場，Ⅰ、Ⅱ區(qū)域存在方向相反的勻強磁場，已知Ⅰ區(qū)域的磁感應(yīng)強度大小為B₁，方向垂直紙面向里，PQ為絕緣薄板且為兩磁場的理想邊界，C、D為板上兩個小孔，AO為CD的中垂線，交點為A，O為I磁場區(qū)域的上邊界MN與AO的交點．質(zhì)量為m、電量為q的帶電小球從O點正上方高為h的某點由靜止開始下落，進入Ⅰ區(qū)域后，恰能做勻速圓周運動，已知重力加速度為g．
（1）試判斷小球的電性并求出電場強度E的大��；
（2）若帶電小球恰能從C孔沿與PQ成30°角進入Ⅱ區(qū)域，求Ⅰ區(qū)域的磁場寬度d和C、A間的距離L；
（3）若帶電小球從C孔進入?yún)^(qū)域Ⅱ后，恰好從D孔返回Ⅰ區(qū)域，求Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強度B₂的大小（用B₁表示）和帶電小球自O(shè)點進入磁場到第一次回到O點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）帶電小球進入復(fù)合場后，做勻速圓周運動，知電場力和重力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡得出粒子的電性以及求出電場強度的大�。�
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出粒子進入磁場前的速度，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出Ⅰ區(qū)域的磁場寬度d和C、A間的距離L；
（3）作出粒子的運動軌跡圖，結(jié)合周期公式，以及幾何關(guān)系求出帶電小球自O(shè)點進入磁場到第一次回到O點所用的時間．

解答 解：（1）帶電小球進入復(fù)合場后，恰能做勻速圓周運動，合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，重力豎直向下，電場力豎直向上，即小球帶正電．
由qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$．
（2）帶電小球在進入磁場前做自由落體運動，由機械能守恒得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
帶電小球在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系得：d=R₁sin60°，L=R₁（1-cos60°），
解得：d=$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，L=$\frac{{R}_{1}}{2}=\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）帶電小球在Ⅱ區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動，有：$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由幾何關(guān)系得，R₂=2L=R₁，
解得：B₂=B₁，
帶電小球在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)的運動周期為：${T}_{1}={T}_{2}=\frac{2π{R}_{2}}{v}$，
帶電小球在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)的運動的總時間為：t=$2×\frac{{T}_{1}}{6}+\frac{5}{6}{T}_{2}=\frac{7}{6}{T}_{2}$．
解得：t=$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．
答：（1）小球帶正電，電場強度為$\frac{mg}{q}$．
（2）Ⅰ區(qū)域的磁場寬度為$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，C、A間的距離為$\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強度B₂的大小為B₁，帶電小球自O(shè)點進入磁場到第一次回到O點所用的時間為$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．

點評 本題考查了帶電小球在磁場中的運動，分析清楚小球的運動過程，作出小球的運動軌跡、應(yīng)用機械能守恒定律、牛頓第二定律、功的計算公式即可正確解題；分析清楚運動過程、作出小球運動軌跡是正確解題的關(guān)鍵．