Question

7．如圖所示，豎直光滑四分之三圓軌道BCD固定在水平面AB上，軌道圓心為O，半徑R=1m，軌道最低點(diǎn)與水平面相切于B點(diǎn)，C為軌道最高點(diǎn)，D點(diǎn)與圓心O等高．一質(zhì)量m=1kg的小物塊，從水平面上以速度υ₀=8m/s豎直向上拋出，物塊從D點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，最終停在A點(diǎn)，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，取g=10m/s²．求：
（1）物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度；（可以保留根式）
（2）物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）A、B間的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊豎直向上拋出，以豎直向上方向?yàn)檎�方向，其加速度�?g，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；
（2）從拋出到C點(diǎn)的過程，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，求解物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)牛頓第二、第三定律求解對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）由機(jī)械能的守恒定律求出物塊到B點(diǎn)速度，由動(dòng)能定理求解AB間的距離．

解答 解：（1）從拋出到D的過程，物塊做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，以豎直向上方向?yàn)檎�方向，其加速度�?a=-g，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：-2gR=${v}_{D}^{2}$-${v}_{0}^{2}$
解得：v_D=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2gR}$=$\sqrt{{8}^{2}-2×10×1}$m/s=2$\sqrt{11}$ m/s
（2）從拋出到C點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
得 v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$=$\sqrt{{8}^{2}-4×10×1}$=2$\sqrt{6}$m/s
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$-mg=1×$\frac{24}{1}$-1×10=14N
由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道的壓力 F_N′=14N，
（3）由機(jī)械能的守恒定律知，物塊到B點(diǎn)速度為：
v_B=v₀=8m/s
由動(dòng)能定理得：-μmgx_AB=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：x_AB=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$=$\frac{{8}^{2}}{2×0.4×10}$m=8m
答：（1）物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度為2 $\sqrt{11}$m/s；
（2）物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為14N；
（3）A、B間的距離為8m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，常常有兩類解題思路：一是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合；二是機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理．