Question

8．如圖甲所示，工廠利用傾角θ=30°的皮帶傳輸機(jī)，將每個質(zhì)量為m=5kg的木箱從地面運(yùn)送到高為h=5.25m的平臺上，機(jī)械手每隔1s就將一個木箱放到傳送帶的底端，傳送帶的皮帶以恒定的速度順時針轉(zhuǎn)動且不打滑．木箱放到傳送帶上后運(yùn)動的部分v-t圖象如圖乙所示，已知各木箱與傳送帶間的動摩擦因數(shù)都相等．若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s²．求：
（1）木箱與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ；
（2）傳送帶上最多有幾個木箱同時在向上輸送；
（3）皮帶傳輸機(jī)由電動機(jī)帶動，從機(jī)械手放上第一個木箱開始計時的10分鐘內(nèi)，因?yàn)槟鞠涞姆湃�，電動機(jī)需要多做的功．

Answer 1

分析 （1）由乙圖得出木箱運(yùn)動的加速度和皮帶運(yùn)動的速度，根據(jù)牛頓第二定律求解動摩擦因數(shù)μ；
（2）根據(jù)運(yùn)動學(xué)基本公式求出木箱加速的位移，木箱相對皮帶靜止后，相鄰兩個木箱之間的距離都相等，結(jié)合傳送帶的長度列式求解即可；
（3）先求出一個木箱在傳送帶上運(yùn)動時產(chǎn)生的熱量和增加的動能和重力勢能，再求出從開始的10分鐘內(nèi)共傳送木箱的個數(shù)，求和即可電動機(jī)需要多做的功．

解答 解：（1）由乙圖可知，木箱運(yùn)動的加速度為：a=$\frac{1}{1}$=1m/s²，
皮帶勻速運(yùn)動的速度為：v=1m/s，
根據(jù)牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得：$μ=\frac{2\sqrt{3}}{5}$
（2）木箱加速運(yùn)動的位移為：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=0.5m$，
木箱相對皮帶靜止后，相鄰兩個木箱之間的距離都相等，有：△L=vt=1m
傳送帶的長度為：L=$\frac{h}{sin30°}=2h=10.5m$，
L=10△L+x₁，
所以傳送帶上最多同時存在的木箱個數(shù)為11個，
（3）木箱再傳送帶上運(yùn)動時，和皮帶間的相對位移為：△x=vt-x₁=1×1-0.5=0.5m，
和皮帶間的摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q₁=μmgcosθ•△x=15J
木箱最終增加的動能為：${E}_{K1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=2.5J$，
木箱到達(dá)平臺增加的重力勢能為：E_P=mgh=262.5J，
從開始的10分鐘內(nèi)共傳送木箱的個數(shù)N=10×60=600個，其中590個已經(jīng)到達(dá)平臺，還有10個正在傳送帶上，
到達(dá)平臺的590個，電動機(jī)做的功為：W₁=590（Q₁+E_K1+E_P1）=165200J，
在傳送帶上的已經(jīng)開始運(yùn)動得10個木箱增加的動能為：10E_K1=25J，
10個木箱的摩擦生熱為：10Q₁=150J，
10個木箱增加的重力勢能共為：E_P′=10mg△xsin30°+mg△Lsin30°+2mg△Lsin30°+…+9mg△Lsin30°=10mg△xsin30°+mgLsin30°（1+2+3+…+9）=1250J，
所以電動機(jī)多做的功為：W=W₁+10E_K1+10Q₁+E_P′=166625J
答：（1）木箱與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ為$\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（2）傳送帶上最多有11個木箱同時在向上輸送；
（3）皮帶傳輸機(jī)由電動機(jī)帶動，從機(jī)械手放上第一個木箱開始計時的10分鐘內(nèi)，因?yàn)槟鞠涞姆湃�，電動機(jī)需要多做的功為166625J．

點(diǎn)評 本題主要考查了牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)基本公式以及功能關(guān)系的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動情況，能根據(jù)運(yùn)動圖象求出加速度和最終兩者一起運(yùn)動的速度，難度較大，屬于難題．