Question

有一傾角θ=37°的硬桿，其上套有一下端固定于O點(diǎn),勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧的自由端位于硬桿上的Q處。硬桿OQ部分光滑，PQ部分粗糙，彈簧與桿間無摩擦。一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球套在此硬桿上，從P點(diǎn)由靜止開始滑下，已知小球與硬桿間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，PQ間的距離為L=0.91m。彈簧的彈性勢能與其形變量x的關(guān)系為，不計(jì)空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時(shí)的能量損失。（已知g＝10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8 ）。求：

（1）小球在運(yùn)動過程中達(dá)到最大速度時(shí)彈簧的形變量是多少；

（2）小球在運(yùn)動過程中所能達(dá)到的最大速度v_m；

（3）經(jīng)過較長的時(shí)間后，系統(tǒng)能夠處于穩(wěn)定狀態(tài)。試對這一穩(wěn)定狀態(tài)作簡單描述。并求出整個(gè)過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能。

Answer 1

解（1）當(dāng)小球從P點(diǎn)無初速滑下時(shí)，彈簧被壓縮至x處時(shí)小球的加速度為零，速度有最大值，因?yàn)橛矖UOQ部分光滑，則有：                                                        （2分）

                       （1分）

（2）小球由P點(diǎn)無初速滑下至彈簧被壓縮至x=0.06m處的過程中，對小球運(yùn)用功能關(guān)系，有：                           （2分）

即       

代入數(shù)據(jù)得                                                              （2分）

（3）經(jīng)過較長的時(shí)間后，小球?qū)⒃赒點(diǎn)以下做來回往復(fù)式運(yùn)動，小球的機(jī)械能與彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。                                                     （2分）

在不計(jì)空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時(shí)的能量損失的情況下，全過程中系統(tǒng)的機(jī)械能減小量即為整個(gè)過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能。                                                   （2分）

                                        （2分）