Question

3．如圖所示，傾角為θ的光滑斜面MNPQ的長(zhǎng)為L(zhǎng)，C點(diǎn)為斜面底邊NP的中點(diǎn)，有一長(zhǎng)為$\frac{L}{4}$的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，O點(diǎn)是斜面MNPQ的中心位置，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，使小球在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，小球可看成質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度v_A應(yīng)該為多大？
（2）若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)，細(xì)線因某種原因突然斷裂，為保證小球不從MN邊射出，則斜面底邊NP的寬度d應(yīng)滿足何條件？
（3）若小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，小球恰好從距離C點(diǎn)為b的E點(diǎn)射出，則細(xì)線斷裂的瞬間細(xì)線的拉力為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)時(shí)由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛頓第二定律求v_A．
（2）在A點(diǎn)細(xì)線突然斷裂后，小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和臨界條件求解．
（3）小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，之后小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由分位移公式求出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求細(xì)線的拉力．

解答 解：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)時(shí)由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛頓第二定律有：
  mgsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$
（2）在A點(diǎn)細(xì)線斷裂后，小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則
  $\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
若不從MN邊射出，應(yīng)有 v_At≤$\fracoweqgo0{2}$
解得 d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L
（3）若小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，之后小球類(lèi)平拋到E點(diǎn)，則有
  $\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
   b=v_Bt
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：T-mgsinθ=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得 T=mgsinθ（1+$\frac{8^{2}}{{L}^{2}}$）
答：（1）若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度v_A應(yīng)該為$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$．
（2）為保證小球不從MN邊射出，則斜面底邊NP的寬度d應(yīng)滿足何條件：d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L．
（3）若小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，小球恰好從距離C點(diǎn)為b的E點(diǎn)射出，則細(xì)線斷裂的瞬間細(xì)線的拉力是mgsinθ（1+$\frac{8^{2}}{{L}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來(lái)源，對(duì)于類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解．要注意類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的加速度不是g，而是gsinθ．