Question

5．已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T₁，地球的自轉(zhuǎn)周期T₂，地球表面的重力加速度g．某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：
同步衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動，由G$\frac{Mm}{h^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}$h得M=$\frac{{4{π^2}{h^3}}}{{G{T^2}}}$
（1）請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結(jié)果．
（2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果．
（3）已知一個(gè)近地衛(wèi)星周期為T，求地球的密度表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，列式求解，同步衛(wèi)星離地面的高度較大，不能忽略；
（2）對月球或地球應(yīng)用萬有引力提供向心力，也可根據(jù)在地球表面重力等于向心力求解．
（3）近地衛(wèi)星的軌道半徑等于地球的半徑，根據(jù)密度公式求出地球的密度；

解答 解：（1）上面結(jié)果是錯(cuò)誤的，同步衛(wèi)星離地面的高度h在計(jì)算過程中不能忽略．
確的解法和結(jié)果是：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+h）$…①
得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GT_2^2}$…②
（2）方法一：對月球繞地球作圓周運(yùn)動，由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GT_2^2}$…③
方法二：在地面重力近似等于萬有引力，由$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$…④
（3）地球的近地衛(wèi)星，軌道半徑等于地球半徑，根據(jù)萬有引力等于向心力有
$G\frac{M{m}_{\;}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
地球體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
地求密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）上面結(jié)果是錯(cuò)誤的，地球的半徑R在計(jì)算過程中不能忽略，正確解法和結(jié)果如上所述．
（2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法如上所述
（3）地球的密度為$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力這兩個(gè)關(guān)系，并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．