Question

12．月球半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，月球表面重力加速度約為地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$，把月球和地球都視為質量均勻分布的球體．求：
（1）環(huán)繞地球和月球表面運行衛(wèi)星的線速度之比$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}$；
（2）地球和月球的平均密度之比$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}$．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星做運動運動所需向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律求出兩衛(wèi)星的線速度，然后再求它們的比值．
（2）星球表面的物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，據(jù)此求出星球的質量，然后由密度公式求出星球的密度，最后求出地球與月球的平均密度之比．

解答 解：（1）根據(jù)題意，在月球表面物體的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
由萬有引力定律提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{gR}$
所以：$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\sqrt{\frac{{g}_{地}{R}_{地}}{{g}_{月}{R}_{月}}}$=2$\sqrt{6}$：1
 （2）設想將一質量為m₀的小體放在天體表面處．由萬有引力定律可得
在月球表面物體的重力等于萬有引力：G$\frac{M{m}_{0}}{{r}^{2}}$=m₀g
又因為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$
聯(lián)立解得：ρ=$\frac{g}{4Gπr}$
所以地球和月球的平均密度之比為：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{{g}_{地}{r}_{月}}{{g}_{月}{r}_{地}}=1.5$，即：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}$=$\frac{3}{2}$．
答：（1）環(huán)繞地球和月球表面運行衛(wèi)星的線速度之比為2$\sqrt{6}$：1；
（2）地球和月球的平均密度之比為3：2．

點評 解答天體運動的兩條思路：①衛(wèi)星繞地球或月球做圓周運動時，萬有引力提供向心力；②在星球表面物體的重力等于萬有引力．
同時在解題時注意黃金代換：GM=gR²．