Question

1997年8月26日在日本舉行的國(guó)際天文學(xué)會(huì)上，德國(guó)Max Planck學(xué)會(huì)的一個(gè)研究組宣了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在一個(gè)在黑洞。他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測(cè)所得到的數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中心約60億公里的星體正以的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見(jiàn)提示2），通過(guò)計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少。（引力常數(shù)）

提示：1. 黑洞是一種密度極大的天體，其表面的引力是如此之強(qiáng)，以至于包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不了其引力作用。

2．計(jì)算中可以采用拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型，在這種模型中，在黑洞表面上的所有物質(zhì)，即使初速度等于光速也逃脫不了其引力的作用。

Answer 1

首先求出一定質(zhì)量的引力源成為黑洞應(yīng)滿足的條件．按照黑洞的定義，包括以光速運(yùn)動(dòng)的光子也不能脫離黑洞的吸引，即不能逃離黑洞的表面．而拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型則把光看做是以光速運(yùn)動(dòng)的某種粒子．我們知道，物體在引力作用下的勢(shì)能是負(fù)的，物體恰能逃離引力作用，表示物體運(yùn)動(dòng)到無(wú)限遠(yuǎn)的過(guò)程中，其動(dòng)能恰好全部用于克服引力做功．物體在無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能都等于零．這意味著該物體處在引力源表面處時(shí)，其動(dòng)能與勢(shì)能之和亦等于零．物體不能逃離引力作用，表示該物體尚未到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處，其動(dòng)能已全部用于克服引力做功，但引力勢(shì)能仍是負(fù)的．這意味著它在引力源表面處時(shí)，其動(dòng)能與勢(shì)能之和小于零．若某引力源的質(zhì)量為，半徑為，質(zhì)量為的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃離引力作用，則按牛頓力學(xué)的觀點(diǎn)應(yīng)有下列關(guān)系：

                                               （1）

或

                                                          （2）

這就是說(shuō)，對(duì)于質(zhì)量為的引力源，只有其半徑（叫做黑洞的引力半徑）小于時(shí)才會(huì)在其表面產(chǎn)生足夠強(qiáng)的引力，使得包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不能脫離其引力作用．對(duì)光而言，人們將無(wú)法通過(guò)光學(xué)測(cè)量看到它，這就是把它叫做黑洞的原因．

現(xiàn)在再來(lái)根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)確定存在于銀河系中心的大黑洞的半徑．設(shè)位于銀河系中心的引力源的質(zhì)量為，繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)的星體的質(zhì)量為，該星體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有下列關(guān)系：

  即                            （3）

為軌道半徑．若該引力源為黑洞，則其質(zhì)量分布球的半徑應(yīng)滿足（2）式，即

                                    （4）

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，，，而，把這些數(shù)據(jù)代入（4）式，得

                                           （5）

這說(shuō)明，對(duì)質(zhì)量由（3）式?jīng)Q定的引力源來(lái)說(shuō)，半徑小于時(shí)才是黑洞，大于這個(gè)數(shù)值則不是黑洞．所以如果銀河系中心存在黑洞的話，該黑洞的半徑小于．