Question

17．如圖所示，質(zhì)量m=1Kg的滑板A帶有四分之一光滑圓軌道，圓軌道的半徑R=1.8m，圓弧底端點(diǎn)切線水平，滑板的水平部分粗糙．現(xiàn)滑板A靜止在光滑水平面上，左側(cè)緊靠固定擋板，右側(cè)有與A等高的平臺(tái)，平臺(tái)與A的右端間距為s．平臺(tái)最右端有一個(gè)高h(yuǎn)=1.25m的光滑斜坡，斜坡和平臺(tái)用長(zhǎng)度不計(jì)的小光滑圓弧連接，斜坡頂端連接另一水平面．現(xiàn)將質(zhì)量m=2kg的小滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A的頂端由靜止釋放，取重力加速度g=10m/s²．求：

（1）滑塊B剛滑到圓弧底端時(shí)，對(duì)圓弧底端軌道的壓力大小．
（2）若A、B間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，保證A與平臺(tái)相碰前A、B能達(dá)到共同速度，則s應(yīng)滿足什么條件？
（3）平臺(tái)上P、Q之間是一個(gè)寬度l=0.5m的特殊區(qū)域，該區(qū)域粗糙，且當(dāng)滑塊B進(jìn)入后，滑塊還會(huì)受到一個(gè)水平向右、大小F=20N的恒力作用，平臺(tái)其余部分光滑．在滿足第（2）問(wèn)的條件下，若A與B共速時(shí)，B剛好滑到A的右端，A恰與平臺(tái)相碰，此后B滑上平臺(tái)，同時(shí)快速撤去A．設(shè)B與PQ之間的動(dòng)摩擦因數(shù)0＜μ＜l，試討論因μ的取值不同，B在PQ間通過(guò)的路程大�。�

Answer 1

分析 （1）滑塊在圓弧軌道上下滑的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律求出滑塊滑到軌道底端時(shí)的速度，由牛頓第二定律求解物塊滑到圓弧軌道底端時(shí)軌道對(duì)滑塊的支持力，從而得到滑塊對(duì)圓弧底端軌道的壓力大小．
（2）滑塊在A的水平部分上滑行時(shí)，由動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理求s應(yīng)滿足的條件．
（3）B在PQ間通過(guò)的路程與滑動(dòng)摩擦力做功有關(guān)，分情況，由動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）設(shè)滑塊B滑到A的底端時(shí)速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=6m/s
設(shè)滑塊B剛下滑到圓弧底端時(shí)，圓弧軌道對(duì)滑塊的支持力為F_N，由牛頓第二定律得：
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 F_N=60N
由牛頓第三定律得：F_壓=F_N=60N
（2）設(shè)AB共同速度為v₁，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
   mv₀=（m+M）v₁．
解得 v₁=4m/s
對(duì)A，由動(dòng)能定理得：
  μ₁mgs=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
解得 s=0.8m
即保證A與平臺(tái)相碰前A、B能達(dá)到共同速度，s應(yīng)滿足 s＞0.8m．
（3）設(shè)滑塊到達(dá)Q處的速度為v₂時(shí)，滑塊恰好到達(dá)斜坡頂端，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
    mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 v₂=5m/s
由（2）可知滑塊進(jìn)入PQ間時(shí)速度大小為v₁，當(dāng)滑塊到達(dá)Q處速度  v₂=5m/s時(shí)，對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得：
   Fl-μmgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 μ=0.1
即 0＜μ≤0.1，滑塊從斜坡頂端離開(kāi)，滑塊在PQ間通過(guò)的路程為0.5m．
若滑塊滑上斜坡后，從斜坡返回，到達(dá)P點(diǎn)速度剛好為零，設(shè)此時(shí)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂．對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得：
-μ₂mg•2l=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 μ₂=0.8
即0.1＜μ≤0.8，滑塊從P左側(cè)離開(kāi)，滑塊在PQ間通過(guò)的路程為1m．
若0.8＜μ＜1，則B最終靜止在Q點(diǎn)，設(shè)滑塊在PQ間通過(guò)的路程為s′．
對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得：
   Fl-μmgs′=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 s′=$\frac{13}{10μ}$
答：
（1）滑塊B剛滑到圓弧底端時(shí)，對(duì)圓弧底端軌道的壓力大小是60N．
（2）保證A與平臺(tái)相碰前A、B能達(dá)到共同速度，s應(yīng)滿足 s＞0.8m．
（3）0＜μ≤0.1時(shí)，滑塊從斜坡頂端離開(kāi)，滑塊在PQ間通過(guò)的路程為0.5m．0.1＜μ≤0.8地，滑塊從P左側(cè)離開(kāi)，滑塊在PQ間通過(guò)的路程為1m．0.8＜μ＜1時(shí)，滑塊在PQ間通過(guò)的路程為$\frac{13}{10μ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，確定滑塊可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，知道涉及力在空間的效果時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理研究．滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)．