Question

12．半徑為R的豎直光滑圓軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個(gè)光滑小球，現(xiàn)給小球一個(gè)沖擊使其在瞬間得到一個(gè)水平初速度v₀，若v₀大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同．下列說法中正確的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，則小球能夠上升的最大高度等于$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，則小球能夠上升的最大高度小于$\frac{3R}{2}$
• C． 如果v₀=$\sqrt{4gR}$，則小球能夠上升的最大高度等于2R
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，則小球能夠上升的最大高度等于2R

Answer 1

分析 先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出在不同的初速度條件下能上升的最大高度，再根據(jù)向心力公式判斷在此位置速度能否等于零，即可求解．

解答 解：A、設(shè)初速度為v時(shí)，小球上升的最大高度恰好等于R，則由機(jī)械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，v=$\sqrt{2gR}$
如果v₀=$\sqrt{gR}$＜v，說明小球上升的最大高度小于R，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh，解得：h=$\frac{R}{2}$，故A正確；
BCD、小球恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，最高點(diǎn)有 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$．
設(shè)小球在最低點(diǎn)的初速度為v₂．從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{5gR}$．
如果v₀=$\sqrt{3gR}$，則小球在上半圓軌道上離開軌道，離開軌道時(shí)速度不為零，設(shè)為v″，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+$\frac{1}{2}mv{″}^{2}$，v″＞0，解得 h＜$\frac{3R}{2}$．
同理，如果v₀=$\sqrt{4gR}$，小球能夠上升的最大高度小于2R．
如果v₀=$\sqrt{5gR}$，則小球恰能通過圓軌道最高點(diǎn)，能夠上升的最大高度等于2R．故BD正確，C錯(cuò)誤．
故選：ABD

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用，要判斷在豎直方向圓周運(yùn)動(dòng)中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．