Question

20．質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上，鋼板處于平衡狀態(tài)，與質(zhì)量也為m的物塊甲從鋼板正上方高為h的A處自由落下，打在鋼板上并與鋼板一起向下運動x₀后到達最低點B；若物塊乙質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊乙與鋼板一起向下運動到B點時，還具有向下的速度，已知質(zhì)量加速度為g，空氣阻力不計，求；
（ⅰ）物塊甲和鋼板一起運動到最低點B過程中彈簧彈性勢能的增加量；
（ⅱ）物塊乙和鋼板一起運動到B點時速度v_B的大�。�

Answer 1

分析 （�。┓治鑫矬w的運動過程：物塊先自由下落，機械能守恒．物塊與鋼板碰撞時，因碰撞時間極短，系統(tǒng)所受外力遠小于相互作用的內(nèi)力，遵守動量守恒定律，碰后一起向下運動至最低點，由功能關系可得彈簧彈性勢能的增加量；
（ⅱ）分析過程同上，物體乙將鋼板壓至B點，形變量和原來的相同，彈性勢能增加量仍然為△E_P，由功能關系可求物塊乙和鋼板一起運動到B點時速度的大�。�

解答 解：（�。┪飰K甲靜止自由落下，由動能定理可得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²
v₀為物塊與鋼板碰撞時的速度．因為碰撞板短，內(nèi)力遠大于外力，鋼板與物塊間動量守恒，以向下為正方向．
設v₁為兩者碰撞后共同速度，則有：mv₀=2mv₁
碰后一起向下運動至最低點，由功能關系可得：$\frac{1}{2}$（2m）v₁²+2mgx₀=△E_P
聯(lián)立以上各式解得彈性勢能增加量為：△E_P=$\frac{1}{2}$mgh+2mgx₀
（ⅱ）物塊乙靜止自由落下，由動能定理可得：2mgh=$\frac{1}{2}$2mv₂²
v₂為物塊乙與鋼板碰撞時的速度．因為碰撞板短，內(nèi)力遠大于外力，鋼板與物塊間動量守恒，以向下為正方向．
設v₃為兩者碰撞后共同速度，則有：2mv₂=（2m+m）v₃
物體乙將鋼板壓至B點，形變量和原來的相同，彈性勢能增加量仍然為△E_P，所以
碰后一起向下運動至最低點，由功能關系可得：$\frac{1}{2}$（2m+m）v₃²-$\frac{1}{2}$（2m+m）v_B²+3mgx₀=△E_P
聯(lián)立以上各式解得乙和鋼板一起運動到B點時速度大小為：v_B=$\sqrt{\frac{5}{9}gh+\frac{2}{3}g{x}_{0}}$=$\sqrt{\frac{g}{9}（5h+6{x}_{0}）}$．
答：（�。┪飰K甲和鋼板一起運動到最低點B過程中彈簧彈性勢能的增加量為$\frac{1}{2}$mgh+2mgx₀；
（ⅱ）物塊乙和鋼板一起運動到B點時速度的大小為$\sqrt{\frac{g}{9}（5h+6{x}_{0}）}$．

點評 此題考查力動量守恒定律、動能定理和功能關系，它將動量守恒和功能關系完美地統(tǒng)一在一起，交替使用，可以說是一道考查考生能力的好試題．解答此題還要注意彈簧的彈性勢能只與勁度系數(shù)和形變量有關．