Question

12．已知質量為m的物體與地心的距離為r（變量）時，物體和地球的引力勢能可表示為E_P=-$\frac{GMm}{r}$（設物體離地球無限遠處時的勢能為零），其中G為已知的引力常量，M為已知的地球質量．已知“神州十號”飛船所在的軌道半徑為r=R₁，“天宮一號”空間站所在的軌道半徑為r=R₂，且 R₂＞R₁．為了完成對接任務，需要啟動“神舟十號”飛船的發(fā)動機使飛船加速，從而使飛船順利“追上”空間站，問發(fā)動機至少要對飛船做多少功？（已知引力做功與引力勢能變化的關系滿足W_引=-△E_P，最終結果要求用G、M、m、R₁和R₂表示）

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于向心力求出人造衛(wèi)星在軌道上的動能，結合題目信息知軌道勢能，根據(jù)動能定理求出發(fā)動機對飛船做功

解答 解：由萬有引力定律得：$\frac{GMm}{r^2}=\frac{{m{v^2}}}{r}$，
可得飛船的動能為：${E_K}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{GMm}{2r}$
即：${E_K}_1=\frac{GMm}{{2{R_1}}}$，${E_K}_2=\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
由動能定理有：W+W_引=△E_K=E_K2-E_K1，
又${W_引}=-△{E_P}=\frac{GMm}{R_2}-\frac{GMm}{R_1}$
聯(lián)立以上關系可得：$W=\frac{GMm}{{2{R_1}}}-\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
答：發(fā)動機至少要對飛船做功$\frac{GMm}{2{R}_{1}^{\;}}-\frac{GMm}{2{R}_{2}^{\;}}$

點評 對于衛(wèi)星類型，要根據(jù)其運動模型，由萬有引力定律提供向心力、圓周運動規(guī)律和功能關系求解．