Question

如圖（甲）所示，x軸上方為一垂直于平面xOy向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，x軸下方為方向平行于x軸但大小一定（假設(shè)為E₀）、方向做周期性變化的電場(chǎng).在坐標(biāo)為（R，R）的A點(diǎn)和第Ⅳ象限中某點(diǎn)各放置一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的正點(diǎn)電荷P和Q，P、Q的重力及它們之間的相互作用力均不計(jì)，現(xiàn)使P在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中開始做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)釋放Q，要使兩電荷總是以相同的速度同時(shí)通過(guò)y軸，求：

（1）場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小及方向變化的周期；

（2）在如圖（乙）所示的E-t圖中作出該電場(chǎng)的變化圖象（以釋放電荷P時(shí)為初始時(shí)刻，x軸正方向作為場(chǎng)強(qiáng)的正方向），要求至少畫出兩個(gè)周期的圖象.

Answer 1

解析：（1）因電荷Q只能垂直于y軸運(yùn)動(dòng)，要使P、Q始終以相同的速度同時(shí)通過(guò)y軸，則P一定是做以坐標(biāo)（O，R）為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且通過(guò)y軸的速度大小為v=，圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₀= .因電荷P從A點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)y軸所需的時(shí)間為

t==·=

那么，在這段時(shí)間內(nèi)，Q必須在電場(chǎng)力的作用下加速至y軸且速度大小為v，所以

v=a·=·

即E₀==.

在這段時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)的方向向左.（如下圖）

又P再經(jīng)過(guò)的時(shí)間后第二次向右通過(guò)y軸，速度的大小仍為v，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)的特征可知，Q在第一次過(guò)y軸后，必須先經(jīng)的時(shí)間做減速運(yùn)動(dòng)至速度為零，然后再經(jīng)的時(shí)間反向加速至y軸速度達(dá)到v，才能保證Q第二次與P以相同的速度v過(guò)y軸，在這段時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)的方向始終向右.此后，電場(chǎng)又必須改變方向，直至P再次過(guò)y軸，依此類推，電場(chǎng)方向改變的周期應(yīng)與P做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，即T=T₀=.

（2）E-t圖象如圖所示.