Question

6．如圖所示，位于豎直平面上的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點由靜止釋放，最后落在水平地面上C點處，已知小球通過B處的速度大小為$\sqrt{2gR}$，不計空氣阻力，
（1）求小球運(yùn)動到軌道上的B點時，小球?qū)�軌道的壓力為多大�?br />（2）求小球落地點C與B點水平距離s是多少？
（3）若高度H不變，軌道半徑R可以改變，則R應(yīng)滿足什么條件才能使小球落地的水平距離s最大？

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過B點時，重力與支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解；
（2）小球從B點拋出后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的位移公式求解；
（3）根據(jù)水平位移的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系求出水平位移最大時R的大�。�

解答 解：（1）小球在B點時，根據(jù)向心力公式有：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
${F}_{N}=mg+m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$=3mg．
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力�?mg
（2）小球由B→C過程由平拋的規(guī)律得
水平方向有：V_B=$\sqrt{2gR}$，s=v_Bt  
豎直方向有：H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得s=$2\sqrt{（H-R）R}$
（3）水平距離：s=$2\sqrt{（H-R）R}=\sqrt{-（R-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$，
所以，當(dāng)$R=\frac{H}{2}$時，s最大．
答：（1）小球?qū)�軌道的壓力�?mg；
（2）小球落地點C與B點水平距離s是$2\sqrt{（H-R）R}$
（3）當(dāng)$R=\frac{H}{2}$時，s最大．

點評 本題關(guān)鍵對兩個的運(yùn)動過程分析清楚，然后選擇向心力公式和平拋運(yùn)動規(guī)律列式求解．考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．