Question

8．如圖所示，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限以ON為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，已知ON=d，一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸正半軸上y=$\fracujfbpzs{4}$處的M點，以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上x=$\fracfllhrme{2}$處的P點進入磁場，剛好從半圓形區(qū)域的最下端射出磁場，不計粒子重力，求：
（1）電場強度的大小E；
（2）磁場的磁感應強度的大小B；
（3）保持其他條件不變，假設磁感應強度可調(diào)，當B為多大時，粒子以速度方向垂直于y軸地回到y(tǒng)軸（結果用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速運動，豎直方向做勻加速運動，應用牛頓第二定律與類平拋運動分位移公式結合，可求出電場強度的大小E；
（2）作出粒子運動軌跡，由幾何知識求出粒子軌道半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度的大小B；
（3）再作出粒子運動軌跡，由幾何知識求出粒子軌道半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度的大�。�

解答 解：（1）在電場中粒子做類平拋運動，則有
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ①
  x=v₀t  ②
加速度 a=$\frac{qE}{m}$ ③
據(jù)題y=$\fracjweujin{4}$、x=$\frac9pjxbd9{2}$，聯(lián)立得 E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（2）設粒子進入磁場時速度與水平方向的夾角為θ，豎直分速度大小為v_y．速度大小為v．
則
  y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$ ④
由②④得 v_y=v₀，v=$\sqrt{2}{v}_{0}$ 
則有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，θ=45°
畫出粒子的運動軌跡如右圖1所示．設粒子圓周運動的半徑為r，由幾何知識有
  $\sqrt{2}$r=d ⑤
又 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，⑥
解得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）粒子的運動軌跡如右2圖所示．
設粒子的運動軌跡半徑為R，由幾何關系有：∠O′PQ=∠O′QP=22.5°
則有 PQ=2Rcos22.5°
又 PQ=d
則得 R=$\frac9n905nt{2cos22.5°}$=$\fraclcrwwch{2\sqrt{\frac{1+cos45°}{2}}}$=$\fracdyq49wl{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
由R=$\frac{mv}{qB′}$得 B′=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$
答：
（1）電場強度的大小E是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）磁場的磁感應強度的大小B是$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）保持其他條件不變，假設磁感應強度可調(diào)，當B為$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$時，粒子以速度方向垂直于y軸地回到y(tǒng)軸．

點評 粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．