Question

9．三塊相同的金屬平板A、B、D自上而下水平放置，間距分別為h和d，如圖所示．A、B兩板中心開孔，在A板的開孔上擱有一金屬容器P，與A板接觸良好，其內(nèi)盛有導(dǎo)電液體．A板通過閉合的電鍵S與電動(dòng)勢(shì)為U₀的電池的正極相連，B板與電池的負(fù)極相連并接地．容器P內(nèi)的液體在底部小孔O處形成質(zhì)量為m，帶電量為q的液滴后自由下落，穿過B板的開孔O′落在D板上，其電荷被D板吸附，液體隨即蒸發(fā)，接著容器底部又形成相同的液滴自由下落，如此繼續(xù)．設(shè)整個(gè)裝置放在真空中．（g=10m/s²）
（1）D板最終可達(dá)到多高的電勢(shì)？
（2）設(shè)液滴的電量是A板所帶電量的a倍（a=0.02），A板與 B板構(gòu)成的電容器的電容為C₀=5×10^-12F，U₀=1000V，m=0.02g，h=d=5cm．試計(jì)算D板最終的電勢(shì)值；
（3）如果電鍵S不是始終閉合，而只是在第一個(gè)液滴形成前閉合一下，隨即打開，其他條件與（2）相同．在這種情況下，D板最終可達(dá)到電勢(shì)值為多少？說明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)液滴由A到D過程應(yīng)由動(dòng)能定理可以求出D板的電勢(shì)．
（2）求出電容器的電荷量，根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)求出D板最終的電勢(shì)值．
（3）求出液滴到達(dá)D板時(shí)的動(dòng)能，根據(jù)液滴的動(dòng)能分析液滴下落情況，然后求出D板的電勢(shì)值．

解答 解：（1）當(dāng)液滴到達(dá)D板后，D板電勢(shì)升高，液滴在AB間做加速運(yùn)動(dòng)，隨D板的液滴數(shù)目不斷增多，
液滴到達(dá)D板速度為零時(shí)，D板則勢(shì)達(dá)到了最大值．設(shè)D板最高電勢(shì)為U，由動(dòng)能定理可得：
mg（h+d）+qU₀-qU=0，解得：$U={U_0}+\frac{mg（h+d）}{q}$；
（2）A板的電荷量為Q_A=C₀U₀，所以：$U={U_0}+\frac{{mg（{h+d}）}}{{a（{{C_0}{U_0}}）}}=1000+\frac{{0.02×{{10}^{-3}}×10×（{0.05+0.05}）}}{{0.02×5×{{10}^{-12}}×1000}}=2.01×{10^5}V$；
（3）U至多等于A板電荷全都到D板時(shí)D板的電勢(shì)值．由于h=d，B、D板間的電容也是C₀，故U至多應(yīng)為U₀，
問題是U能否達(dá)到U₀．當(dāng)D板電勢(shì)為U時(shí)，A板電勢(shì)為U'₀=U₀-U．
到達(dá)D板液滴的動(dòng)能：E_K=mg（h+d）+（qU₀′-qU）＞mg（h+d）-qU＞mg（h+d）-qmU₀=mg（h+d）-aC₀U₀²，
其中：q_m=aC₀U₀，是q的最大值，即第一個(gè)液滴的帶電荷量．
解得：mg（h+d）-aC₀U₀²=2×10^-5-10^-13×10⁶＞0，
可見E_k＞0，液滴一直往下滴，直至A板上電荷量全部轉(zhuǎn)移到D板．
所以：U=U₀=1000V；
答：（1）D板最終可達(dá)到的電勢(shì)為U₀+$\frac{mg（h+d）}{q}$；
（2）D板最終的電勢(shì)值為2.01×10⁵V；
（3）由于液滴一直往下滴，直至A板上電荷量全部轉(zhuǎn)移到D板，在這種情況下，D板最終可達(dá)到電勢(shì)值為1000V．

點(diǎn)評(píng) 液滴到達(dá)D板后液滴所帶電荷被D板吸收，D板電勢(shì)升高，隨電荷量增加，D的電勢(shì)越來越高，當(dāng)液滴不再到達(dá)D板時(shí)D的電勢(shì)不再變化，達(dá)到終極值；本題考查了求電勢(shì)問題，分析清楚液滴的運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理可以解題．